Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện



Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện

A. Phương pháp giải

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực)

B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2| = k(k ∈ R)

- Bình phương trình hai vế: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ ... ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = k2

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.

3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2  (*)

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

Ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9. Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

Ta có:  Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2

Ta có: (x1 - α)(x2 - α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2

Giải

a) Δ = (2m - 1)2 - 4.(m2 - 1)= 4m2 - 4m + 1 - 4m2 + 4 = 5- 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤ Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Kết hợp với điều kiện Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m = 1 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 10mx + 9m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 - 9x2 = 0.

Giải

a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x2 - 10x + 9 = 0.

Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

b) Δ' = (-5m)2 - 1.9m = 25m2 - 9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Từ (*) và giả thiết  ta có hệ phương trình:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Thay vào phương trình (**) ta có:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1-9x2 = 0

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

Giải

a) Ta có: Δ = [-2(m - 1)]2 - 4.1.(2m - 5) = 4m2 - 12m + 22

= (2m)2 - 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)2 + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Ta có: x1 < 1 < x2Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 ⇒(x1 - 1)(x2 - 1) < 0⇒x1 x2 - (x1+x2)+1 < 0 (II)

Thay (I) vào (II) ta có: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m).

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình x2 - (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình x2 - (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1, x2

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 2: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x1 = -3x2

A. m = 3

B. m = ±1

C. m = ±√2

D. m = -2

Giải

Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2 - 1)=1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Ta có: x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3x2 nên có hệ phương trình sau:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Thay (*) vào biểu thức x1.x2 = -m2 - 1 ta được:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số)

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9. Tính tích của các giá trị đó

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Giải

Δ' = (m + 1)2 - (m2 + m - 1) = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m + 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Do đó:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Kết hợp với điều kiện m > -2 Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 4: Cho phương trình Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 (m là tham số).  Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Phương trình có nghiệm khác 0 Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Kết hợp với điều kiện Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 ta có

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là B

Câu 5: Cho phương trình  Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9 (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

A. m = ±2

B. m = ±√2

C. m = - 1

D. m = 0

Giải

Ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9, luôn đúng với mọi m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2.

Áp dụng Vi-et ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Theo đề bài x1, x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy m = ±2  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 6: Cho phương trình x2 - 2x - 2m2 = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12 = 4x22.

A. m = ±2

B. m = ±1

C. m = -6

D. m = 3

Giải

Ta có: Δ' = (-1)2 - (-2m2 )= 1 + 2m2 > 0

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi-ét:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 7: Cho phương trình x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 3.

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 6

D. m = 8

Giải

Ta có: ∆ = 25 – 4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Theo Vi-ét, ta có: x1 + x= 5 (1) và x1.x2 = m (3)

Mặt khác theo giả thiết ta có: |x1 - x2| = 3 (2)

Giải hệ (1) và (2):

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Với x1 = 4, x2 = 1 thay vào (3) ta được m = 4

Với x1 = 1, x2 = 4 thay vào (3) ta được m = 4

m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là B

Câu 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m - 1)x - (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn  và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Giải

Ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Suy ra phương trình luôn có hai  nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x1 - 1)(x2 - 1) < 0

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Đáp án đúng là C

Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

A. m > - 1

B. m > 2

C. m < 2

D. m < 0

Giải

Ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Suy ra phương trình luôn có hai  nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì:

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy đáp án đúng là D

Câu 10: Cho phương trình x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x1 < x2 < 6

A. m > 1

B. -2 < m < 2

C. -4 < m < 4

D. m < 3

Giải

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có: Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vì -3 < x1 < x2 < 6 nên

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện - Toán lớp 9

Vậy -4 < m < 4.

Đáp án đúng là C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7