Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó

---

---

Bài viết Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó.

Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Lập phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm: x₁ = a, x₂ = b

- Cách giải:

+ Tính

+ Kết luận: x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0

Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm: x₁ = 3, x₂ = 2

Giải

Ta có:

Suy ra x₁ = 3, x₂ = 2 là hai nghiệm của phương trình  x² - 5x + 6 = 0

Ví dụ 2: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 3x² + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn y₁ = 2x₁ - x₂ và y₂ = 2x₂ - x₁.

Giải

Xét phương trình có 3x² + 5x - 6 = 0 có a.c = 3.(-6) < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là: .

Ví dụ 3: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 2x²-3x-1 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn

Giải

Xét phương trình 2x²-3x-1 = 0 có a.c = 2.(-1) = -2 < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

a) Ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là: .

b) Ta có:

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y₁, y₂ là: .

B. Bài tập

Câu 1: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là 3 và -7

A. x² + 4x – 21 = 0

B. x² - 4x – 21 = 0

C. x² + 4x + 21 = 0

D. x² - 4x + 21 = 0

Giải

Ta có:

Suy ra x₁ = 3, x₂ = -7 là hai nghiệm của phương trình  x² + 4x - 21 = 0

Đáp án đúng là A

Câu 2: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là  biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0 là

Giải

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình:  x² - 2mx + m² - 1 = 0 nên

Ta có:

Với hai nghiệm là   thì

Suy ra hai số  là nghiệm của phương trình

Đáp án đúng là D

Câu 3: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là

A. x² + 4x – 1 = 0

B. x² - 4x – 1 = 0

C. x² + 4x + 1 = 0

D. x² - 4x + 1 = 0

Giải

Ta có:

Suy ra  là hai nghiệm của phương trình  x² - 4x + 1 = 0

Đáp án đúng là D

Câu 4: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = 2x₁ – x₂ và y₂ = 2x₂ – x₁, biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình  x² - 7x + 3 = 0

A. y² + 7y + 71 = 0

B. y² – 7y - 71 = 0

C. y² – 7y + 71 = 0

D. y² + 7y - 71 = 0

Giải

Phương trình x² - 7x + 3 = 0 có ∆ = (-7)² – 4.1.3 = 37 > 0 nên có 2 nghiệm x₁, x₂

Ta có:

Với hai nghiệm y₁ = 2x₁ – x₂ và y₂ = 2x₂ – x₁ thì

Suy ra y₁, y₂  là hai nghiệm của phương trình  y² - 7y - 71 = 0

Đáp án đúng là B

Câu 5: Biết x₁, x₂  là hai nghiệm của phương trình x² + 11x + 5 = 0. Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là số đối của x₁, x₂

A. y² + 8y + 1 = 0

B. y² - 7y - 21 = 0

C. y² - 11y + 5 = 0

D. y² + y - 1 = 0

Giải

Phương trình  x² + 11x + 5 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên

Với hai nghiệm y₁ = -x₁ và y₂ = -x₂ thì

Suy ra y₁, y₂  là hai nghiệm của phương trình  y² – 11y + 5 = 0

Đáp án đúng là C

Câu 6: Phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là

Giải

Ta có:

Suy ra 2 số đã cho là hai nghiệm của phương trình:

Đáp án đúng là C

Câu 7: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = x₁ + 2x₂² và y₂ = x₂ + 2x₁², biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 5x - 1 = 0

A. y² - 59y + 283 = 0

B. y² - 17y + 171 = 0

C. y² - 7y + 370 = 0

D. y² + 8y - 17 = 0

Giải

Phương trình  x² - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên

Với hai nghiệm y₁ và y₂ thì:

Suy ra y₁, y₂  là hai nghiệm của phương trình  y² - 59y + 283 = 0

Đáp án đúng là A

Câu 8: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = 2x₁-1 và y₂ = 2x₂-1, biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 3x + 2 = 0

A. y² - 5y + 3 = 0

B. y² - 4y + 3 = 0

C. y² - 2y + 4 = 0

D. y² + 8y - 7 = 0

Giải

Phương trình  x² - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên

Với hai nghiệm y₁ và y₂ thì

Vậy y₁, y₂ là nghiệm của phương trình y² – 4y + 3 = 0

Đáp án B

Câu 9: Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁ = 2x₁ và y₂ = -5x₂, biết x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 6x + 5 = 0 (x₁ <  x₂)

A. y² - 23y + 50 = 0

B. y² - 23y + 5 = 0

C. y² + 23y - 50 = 0

D. y² + 23y - 7 = 0

Giải

Phương trình  x² - 6x + 5 = 0 có a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0 nên có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 5

Với hai nghiệm y₁ và y₂ thì

Vậy y₁, y₂ là nghiệm của phương trình y² + 23y - 50 = 0

Đáp án C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ và $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$.

Bài 2. Không phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số $1+x_1^3$ và $1+x_2^3$ trong đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình 2x² – 7x + 6 = 0. 

Bài 3. Cho phương trình x² + 5x – 3m – 1 = 0.

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

b) Với điều kiện m vừa tìm được ở câu a hãy lập phương trình bậc hai nghiệm biết rằng $\frac{2}{x_1^2}$ và $\frac{2}{x_2^2}$.

Bài 4. Cho phương trình 3x² + 5x – m – 1 = 0 (m là tham số). Với giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Khi đó, hãy lập phương trình bậc hai nghiệm là $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$.

Bài 5. Cho phương trình x² – mx – m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Từ đó hãy lập phương trình bậc hai có u và v là nghiệm biết rằng $u=x_1+\frac{1}{x_2}$ và $v=x_2+\frac{1}{x_1}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu
• Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện
• Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m
• Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---