Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước



Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cách giải:

- Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì

ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).f(x)

- Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - x 0).

- Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - x 0). (ax2 + Bx + C) = 0

Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).(ax2 + Bx + C)

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình  x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

Giải

Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0

Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 – 12) chia cho

(x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy x3 + x2 – 12 =  (x – 2).( x2 + 3x + 6)

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Xét phương trình:  x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Xét phương trình:  x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32  - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vây phương trình có nghiệm duy nhất  x = 2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:  (x - 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1) Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔  phương trình (**) có

∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**)

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

+ TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được:

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x2-x-2 = 0

Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm  x = -1, x = 2

Suy ra m = -1 thỏa mãn

Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm

B. Bài tập

Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Giải

Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x3 + x2 – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy 2x3 + x2 – 13x + 6 =  (x + 3).(2x2 - 5x + 2)

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Xét phương trình  x + 3 = 0 ⇔ x = -3

Xét phương trình  2x2 - 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)2  - 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình  (x - 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Giải

Phương trình (1) Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Phương trình (*) có 1 nghiệm  x = 1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác  x = 1

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy với Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Tìm m để phương trình  (2x - 1)(x2 – mx + 3m - 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm

A. 1 < m < 8

B. 2 < m < 10

C. m = 4

D. m = 0

Giải

Phương trình (1) Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Phương trình (*) có 1 nghiệm Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9  nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9 hoặc vô nghiệm

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Thay Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9  vào phương trình (**) ta được:

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

+ TH2: phương trình (**) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm

Đáp án là B

Câu 4: Tìm m để phương trình  (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3

A. m = 1

B. m = 6

C. Không tồn tại m

D. m = 0

Giải

Phương trình (1) Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2 + x3  = -2m

Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2

m = -2 không thỏa mãn điều kiện Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9 nên loại

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

Đáp án là C

Câu 5: Tìm m để phương trình  (x + 2)(x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4

A. m = 1

B. m = 1, m = 2

C. m = 2

D. m = 0

Giải

Phương trình (1) Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -2 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2

Điều này xảy ra Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2. x3  = m2 - 3m

Tích các nghiệm của phương trình (1) là:

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra

Đáp án đúng là B

Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình

(x -3)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C

A. -5

B. -4

C. -6

D. -3

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4x2 + x + 6 cho x – 3

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy x3 - 4x2 + x + 6 =  (x - 3).(x2 - x - 2)

Suy ra phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 ⇔ (x - 3).(x2 - x - 2) = 0

Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3

Đáp án D

Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5x2 - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có

A. -6

B. -7

C. -8

D. -9

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 5x2 - 2x + 24 cho x – 4

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Vậy x3 - 5x2 - 2x + 24 =  (x - 4).(x2 - x - 6)

Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình  x2 - x – 6 = 0

Phương trình này có Δ = (-1)2 - 4.(-6) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước - Toán lớp 9

Đáp án A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7