Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay



Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

A. Phương pháp giải

- Để nhẩm nghiệm của phương trình  ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x2 + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng –b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có kết quả sau

x2 + (u + v)x + uv = 0 ⇒ x1 = -u, x2 = -v

x2 - (u + v)x + uv = 0 ⇒ x1 = u, x2 = v

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

- Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x2 – 11x + 30 = 0

b. x2 – 12x + 27 = 0

c. x2 + 16x + 39 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 112 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 5, x2 = 6

b. Phương trình đã cho có ∆ = 122 – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 3, x2 = 9

c. Phương trình đã cho có ∆ = 162 – 4.39 = 256 – 156 = 100 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Ta thấy 39 = 13.3 = (-13).(-3) = 1.39 = (-1).(-39) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng -16 nên hai số thỏa mãn (*) là -13 và -3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = -13, x2 = -3

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau

a. 2x2 + 3x + 1 = 0

b. 3x2 – 2x - 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

b. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

B. Bài tập

Câu 1: Số nghiệm của phương trình  7x2 - 9x + 2 = 0 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Đáp án C

Câu 2: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1975x2 + 4x - 1979 = 0

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Đáp án A

Câu 3: Cho phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2), khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

B. Phương trình có 2 nghiệm x = -1, x = m + 3 ∀ m ≠ 2

C. Phương trình có nghiệm kép ∀ m ≠ 2

D. Phương trình vô nghiệm ∀ m ≠ 2

Giải

Với m ≠ 2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m – 2, b = -(2m + 5), c = m + 7

Suy ra a + b + c = m – 2 – (2m + 5) + m + 7 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Đáp án A

Câu 4: Một nghiệm của phương trình mx2 + (3m – 1)x + 2m - 1 = 0 (m ≠ 0) là

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Giải

Với m ≠ 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m, b = 3m - 1, c = 2m - 1

Suy ra a - b + c = m – 3m + 1 + 2m - 1 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Đáp án C

Câu 5: Cho phương trình: (2m – 1)x2 + (m - 3)x - 6m - 2 = 0 (Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9)

Biết rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại của phương trình theo m

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Giải

Vì phương trình đã cho có nghiệm x = -2 Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9 nên  ∆ ≥ 0.

Nghĩa là phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9. Không làm mất tính tổng quát, giả sử x1 = -2

Áp dụng Vi-et ta có: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Đáp án B

Câu 6: Tìm m để phương trình  x2 + 3mx - 108 = 0 có một nghiệm bằng 6. Với giá trị m vừa tìm được tính nghiệm còn lại

A. m = 4 và x = -18

B. m = 3 và x = -16

C. m = 2 và x = -15                     

D. m = 1 và x = -19

Giải

Vì x = 6 là nghiệm của phương trình nên:

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Với m = 4 phương trình trở thành: x2 + 12x - 108 = 0. Theo Vi-et ta có:

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

Đáp án A

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0

A. Phương trình có nghiệm kép x = 2 ∀ m

B. Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = m + 1 ∀ m

C. Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = m + 2 ∀ m

D. Phương trình vô nghiệm

Giải

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay - Toán lớp 9

⇒ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 ⇔ x2 - [(m + 1) + 3]x + 3(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm: x = 3, x = m + 1

Đáp án B

Câu 8: Biết rằng phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m

A. 2m2 - 2m - 1

B. 2m2 + 2m - 1

C. 2m2 + 2m + 1

D. 2m2 - 2m + 1

Giải

Phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0 ⇔ x2 - [m + (m + 1)]x + m(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm x = m, x = m + 1

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là:

m2 + (m + 1)2 = m2 + m2 + 2m + 1 = 2m2 + 2m + 1

Đáp án là C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7