Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm lớp 9 (cực hay)



Bài viết Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm.

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

- Để nhẩm nghiệm của phương trình  ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x2 + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng –b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có kết quả sau

x2 + (u + v)x + uv = 0 ⇒ x1 = -u, x2 = -v

x2 - (u + v)x + uv = 0 ⇒ x1 = u, x2 = v

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

- Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x2 – 11x + 30 = 0

b. x2 – 12x + 27 = 0

c. x2 + 16x + 39 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 112 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 5, x2 = 6

b. Phương trình đã cho có ∆ = 122 – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 3, x2 = 9

c. Phương trình đã cho có ∆ = 162 – 4.39 = 256 – 156 = 100 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Ta thấy 39 = 13.3 = (-13).(-3) = 1.39 = (-1).(-39) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng -16 nên hai số thỏa mãn (*) là -13 và -3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = -13, x2 = -3

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau

a. 2x2 + 3x + 1 = 0

b. 3x2 – 2x - 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

b. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

B. Bài tập

Câu 1: Số nghiệm của phương trình  7x2 - 9x + 2 = 0 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Đáp án C

Câu 2: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1975x2 + 4x - 1979 = 0

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Đáp án A

Câu 3: Cho phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2), khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

B. Phương trình có 2 nghiệm x = -1, x = m + 3 ∀ m ≠ 2

C. Phương trình có nghiệm kép ∀ m ≠ 2

D. Phương trình vô nghiệm ∀ m ≠ 2

Giải

Với m ≠ 2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m – 2, b = -(2m + 5), c = m + 7

Suy ra a + b + c = m – 2 – (2m + 5) + m + 7 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Đáp án A

Câu 4: Một nghiệm của phương trình mx2 + (3m – 1)x + 2m - 1 = 0 (m ≠ 0) là

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Giải

Với m ≠ 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m, b = 3m - 1, c = 2m - 1

Suy ra a - b + c = m – 3m + 1 + 2m - 1 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Đáp án C

Câu 5: Cho phương trình: (2m – 1)x2 + (m - 3)x - 6m - 2 = 0 (Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay)

Biết rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại của phương trình theo m

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Giải

Vì phương trình đã cho có nghiệm x = -2 Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay nên  ∆ ≥ 0.

Nghĩa là phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay. Không làm mất tính tổng quát, giả sử x1 = -2

Áp dụng Vi-et ta có: Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Đáp án B

Câu 6: Tìm m để phương trình  x2 + 3mx - 108 = 0 có một nghiệm bằng 6. Với giá trị m vừa tìm được tính nghiệm còn lại

A. m = 4 và x = -18

B. m = 3 và x = -16

C. m = 2 và x = -15                     

D. m = 1 và x = -19

Giải

Vì x = 6 là nghiệm của phương trình nên:

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Với m = 4 phương trình trở thành: x2 + 12x - 108 = 0. Theo Vi-et ta có:

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Đáp án A

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0

A. Phương trình có nghiệm kép x = 2 ∀ m

B. Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = m + 1 ∀ m

C. Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = m + 2 ∀ m

D. Phương trình vô nghiệm

Giải

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

⇒ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 ⇔ x2 - [(m + 1) + 3]x + 3(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm: x = 3, x = m + 1

Đáp án B

Câu 8: Biết rằng phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m

A. 2m2 - 2m - 1

B. 2m2 + 2m - 1

C. 2m2 + 2m + 1

D. 2m2 - 2m + 1

Giải

Phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0 ⇔ x2 - [m + (m + 1)]x + m(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm x = m, x = m + 1

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là:

m2 + (m + 1)2 = m2 + m2 + 2m + 1 = 2m2 + 2m + 1

Đáp án là C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x2 – 5x + 4.

b) 2x2 + 3x – 5 = 0.

c) 2x2+(1-2)x-1=0.

d) 2x2+5=(2+5)x.

Bài 2. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x2 – 2025x – 2026 = 0.

b) –x4 – 4x2 – 3 = 0.

c) (1+3)x2+33x-1+3 =0.

d) (1+3)x2+23x+3-1=0.

Bài 3. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x2 – 2x – 15 = 0.

b) x2 + 11x + 30 = 0.

c) x2-(2+3)x+6=0.

d) 3x2 – 8x + 4 = 0.

Bài 4. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x2 – 5x + 2 = 0.

b) –3x2 + 10x – 3 = 0.

Bài 5.

a) Phương trình x2 – 7x + a = 0 có một nghiệm bằng 11. Tìm a và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình x2 – bx + 50 = 0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia. Tìm b và hai nghiệm của phương trình.

c) Phương trình 2x2 – (m + 4)x + m = 0  có một nghiệm bằng –3. Tìm m và nghiệm còn lại.

d) Phương trình mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 có một nghiệm bằng –5. Tìm m và nghiệm còn lại.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên