Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng lớp 9 (cực hay)

---

---

Bài viết Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P

- Cách giải:

+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S² < 4P thì không tồn tại hai số u và v, nếu S² ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v

+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình                

x² – Sx + P = 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp:

a) Tổng của hai số là 12, tích của hai số là 7;

b) Tổng của hai số là – 9, tích của hai số là 119.

Hướng dẫn giải:

a) Vì S = 12, P = 7 thỏa mãn  nên tồn tại hai số cần tìm.

Hai số đó là nghiệm của phương trình x² – 12x + 7 = 0

∆ = (– 12)² – 4.7 = 144 – 28 = 116 > 0.

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệT

$x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}=\frac{12+\sqrt{116}}{2}=6+\sqrt{29}; x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}=\frac{12-\sqrt{116}}{2}=6-\sqrt{29}$

Vậy hai số cần tìm là: $6\pm \sqrt{29}.$

b) Vì S = – 9, P = 119 thì S2 = 81 < 4P = 4. 119 = 476 nên không tồn tại hai số cần tìm thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Ví dụ 2. Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận các số 7 và  – 11 là nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có phương trình bậc hai biết nó nhận các số 7 và  – 11 là nghiệm.

Xét S = (x₁ + x₂) = (7 – 11) = – 4 và P = x₁.x₂ = 7.(– 11) = – 77.

Ta thấy S² ≥ 4P

Do đó, 7 và  – 11 là nghiệm của phương trình: X² + 4X – 77 = 0.

C. Bài tập

Câu 1: Tìm hai số biết

a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11

b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180

Giải

a. Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S² ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x² – 8x + 11 = 0

∆ = (-8)² – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là:

b. Với S = 17, P = 180 thì S² = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Câu 2: Tìm hai số u và v biết

a. u + v = 15 và u.v = 36

b. u + v = 4 và u.v = 7

c. u + v = -12 và u.v = 20

Giải

a. Với S = 15, P = 36 thì S² = 225 > 4P = 144 nên tồn tại hai số u và v

Hai số u và v là nghiệm của phương trình: x² – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)² – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hai số cần tìm là: u = 12, v = 3 hoặc u = 3, v = 12

b. Với S = 4, P = 7 thì S² = 16 < 4P = 28 nên không tồn tại hai số u,v thỏa

mãn yêu cầu của đề bài

c. Với S = -12, P = 20 thì S² = 144 > 4P = 80 nên tồn tại hai số u và v

Hai số u và v là nghiệm của phương trình  x² + 12x + 20 = 0

∆ = (12)² – 4.20 = 144 – 80 = 64 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: u = -2, v = -10 hoặc u = -10, v = -2

Câu 3: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v

Giải

Vì S = 15, P = 36 thỏa mãn S² ≥ 4P nên tồn tại hai số u và v

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x² – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)² – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: 12 và 3

Do u > v nên u = 12 và v = 3 ⇒ u – v = 12 – 3 = 9

Câu 4: Tìm hai số x, y biết x² + y² = 61 và xy = 30

Giải

Theo giả thiết ta có:  

+ Xét TH₁: x + y = 11 và xy = 30

Với S = 11, P = 30 thì S² = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y

Hai số x và y là nghiệm của phương trình  x² - 11x + 30 = 0

∆ = (11)² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5

+ Xét TH₂: x + y = -11 và xy = 30

Với S = -11, P = 30 thì S² = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y

Hai số x và y là nghiệm của phương trình: x² + 11x + 30 = 0

∆ = (-11)² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hai số cần tìm là: x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5

Kết hợp 2 trường hợp ta tìm được 4 cặp số x,y thỏa mãn đầu bài

x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5 hoặc x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5

Câu 5: Cho phương trình x² – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Giải

Theo Vi-et ta có: x₁ + x₂ = 7 (1)

Mặt khác theo giả thiết hiệu 2 nghiệm bằng 11 nên: x₁ - x₂ = 11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Ta có: x₁x₂ = q = 9.(-2) = -18

Vậy q = -18 và 2 nghiệm của phương trình là 9 và -2

Câu 6: Cho phương trình x² – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Giải

Theo Vi-et ta có: x₁x₂ = 50 (1)

Mặt khác theo giả thiết,phương trình có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia nên: x₁ = 2x₂ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Với x₁ = 10, x₂ = 5 thì:

Với x₁ = -10, x₂ = -5 thì:

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm hai số a và b, biết tổng S và tích P trong mỗi trường hợp sau:

a) S = 3 và P = 2.

b) S = –3 và P = 6.

c) S = 9 và P = 20.

d) S = 2x và P = x² – y².

Bài 2. Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) a + b = 9 và a² + b² = 41.

b) a – b = 5 và ab = 36.

c) a² + b² = 61 và ab = 30.

Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $2+\sqrt{3}$ và $2-\sqrt{3}$.

Bài 4. Cho phương trình x² + 5x – 3m = 0 (m là tham số).

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x₁ và x₂.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{2}{x_1^2}$ và $\frac{2}{x_2^2}$.

Bài 5. Cho phương trình 3x² + 5x – m = 0 (m là tham số).

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x₁ và x₂.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai
• Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay
• Cách phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử để giải phương trình bậc hai
• Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---