Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai



Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai

A. Phương pháp giải

- Định lý Vi-et: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

- Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thông qua các bước sau:

+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó  không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2, ta thực hiện bước 2

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Ví dụ 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau

a. x2 – 6x + 7 = 0

b. 5x2 – 3x + 1 = 0

Giải

a. Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-3)2 – 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7

b. Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-3)2 – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm

Ví dụ 2: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

A = x12 + x22 = (x1 + x2)2-2x1.x2 = 52 - 2.2 = 25 - 4 = 21

Vậy A = 21

Ví dụ 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 2(m + 5)x + m2 + 6 = 0.

Không giải phương trình tính

a. Tổng và tích các nghiệm theo m

b. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2| theo m

Giải

a. Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:    

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

b. Ta có:

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

B. Bài tập

Câu 1: Tổng 2 nghiệm của phương trình  2x2 – 10x + 3 = 0 là

A. 5  

B. -5           

C. 0                 

D. Không tồn tại

Giải

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-5)2 – 3.2 = 25 – 6 = 19 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Viet ta có: x1 + x2 = 5.

Vậy đáp án đúng là A

Câu 2: Tích 2 nghiệm của phương trình  x2 – x + 2 = 0 là

A. -2          

B. 2              

C. 1            

D. Không tồn tại

Giải

Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.1.2 = 1 – 8 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

 Suy ra không tồn tại tích 2 nghiệm

Vậy đáp án đúng là D

Câu 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình - x2 + 3x + 1 = 0.

 Khi đó giá trị của biểu thức là A = x1(x2 - 2) + x2(x1 - 2)

A. -7          

B. -8             

C. -6          

D. Không tồn tại

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:  Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Vậy đáp án đúng là B

Câu 4: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  x2 - 3x - m = 0.

Tính giá trị của biểu thức A = x12(1 - x2) + x22(1-x1)

A. –m + 9            

B. 5m + 9             

C. m + 9              

D. -5m + 9

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Vậy đáp án đúng là B

Câu 5: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  (m - 2)x2 – (2m + 5)x + m +7 = 0 (m ≠ 2). Tính tích các nghiệm theo m

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Đáp án đúng là A

Câu 6: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  x2 – (2m + 1)x + m2 +1 = 0. Tính giá trị của biểu thức Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9 theo m

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9 

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Đáp án đúng là C.

Câu 7: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  x2 – (2m + 1)x + m2 +2 = 0. Tìm m để biểu thức A = x1.x2 – 2(x1 + x2) – 6 đạt giá trị nhỏ nhất

A. m = 1              

B. m = 2               

C. m = -12           

D. m = 3

Giải

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -10 đạt được khi m – 2 = 0 hay m = 2

Thay m = 2 vào phương trình ta được: x2 – 5x + 6 = 0.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 2, x2 = 3.

Suy ra m = 2 (thỏa mãn)

Đáp án đúng là B 

Câu 8: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm m để  biểu thức A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| đạt giá trị lớn nhất

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Giải

Ta có: Δ' = m2 - 2m2 + 4 = -m2 + 4  

Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇔ -m2 + 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≤ 4 ⇔ |m| ≤ 2 (*)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có:  Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Vậy giá trị lớn nhất của A là Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Ta thấy Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9 (thỏa mãn (*))

Đáp án đúng là C 

Câu 9: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  x2 - 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0. Tìm m để biểu thức A = |x1x2 + x1 + x2| đạt giá trị lớn nhất

Ta thấy Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9 (thỏa mãn (*))

Giải

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Vậy giá trị lớn nhất của A là Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9

Ta thấy Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 9 (thỏa mãn *)

Đáp án đúng là C 

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7