Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn, ta chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn hoặc chứng minh bốn điểm cùng cách đều một điểm.

Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn thì ta chứng minh OA = OB = OC = OD.

– Chú ý:

⦁ Tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

⟶ Nếu $\widehat{ABC}=90°$  (tức ∆ABC vuông tại B) thì điểm B nằm trên đường tròn đường kính AC.

⟶ Nếu tứ giác có hai góc đối diện đều bằng 90° thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó là trung điểm của cạnh đối diện hai góc vuông đó.

⦁ Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

⦁ Hình vuông là tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của hình vuông cạnh a có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Từ điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và đường thẳng không đi qua tâm, cắt đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm đoạn thẳng CD, H và K lần lượt là giao điểm AB với OM và DM. Chứng minh tứ giác OIKH nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Ta có OC = OD (bán kính của đường tròn (O)) nên ∆OCD cân tại O, mà I là trung điểm dây cung CD nên đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó OI ⊥ DC.

Suy ra $\widehat{OIK}=90°$ nên điểm I nằm trên đường tròn đường kính OK.

Ta có OA = OB (bán kính) và MA = MB (hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O) cắt nhau tại M) nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Suy ra $\widehat{OHK}=90°$  nên điểm H nằm trên đường tròn đường kính OK.

Vậy tứ giác OIKH nội tiếp (đường tròn đường kính OK).

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°.$ Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.

Hướng dẫn giải

• Giả sử ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O và đường kính AK nên tứ giác ABCK nội tiếp, suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{AKC}=180°$ (hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (giả thiết) nên $\widehat{ADC}=\widehat{AKC}$ (cùng bù với $\widehat{ABC})$ (1)  

⦁ Gọi F là giao điểm của AK và CD, F nằm trong đường tròn (O). 

Xét ∆AFD và ∆AFD có: $\widehat{AFD}=\widehat{CFK}$ (đối đỉnh) và $\widehat{ADF}=\widehat{CKF}$ (chứng minh trên)

Do đó $\Delta AFD\backsim \Delta CFK\left(\text{g.g}\right)$ suy ra $\frac{AF}{CF}=\frac{DF}{KF}$ nên $\frac{AF}{DF}=\frac{CF}{KF}.$

Xét ∆DFK và ∆AFC có: $\frac{AF}{DF}=\frac{CF}{KF}$ và $\widehat{DFK}=\widehat{AFC}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta DFK\backsim \Delta AFC\left(\text{c.g.c}\right)$ suy ra $\widehat{FDK}=\widehat{FAC}.\left(2\right)$

⦁ Ta có $\widehat{ACK}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ACK}=90°,$ do đó ∆ACK vuông tại C, suy ra $\widehat{FAC}+\widehat{AKC}=90°.\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{ADC}+\widehat{FDK}=90°$ hay $\widehat{ADK}=90°.$

Khi đó ∆ADK vuông tại D nên điểm D nằm trên đường tròn đường kính AK.

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK.

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}.$ Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

• Giả sử ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O và đường kính AK nên tứ giác ABCK nội tiếp, suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{AKB}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$  (giả thiết) nên $\widehat{ADB}=\widehat{AKB}.$ (1)  

⦁ Gọi F là giao điểm của AK và BD, F nằm trong đường tròn (O). 

Xét ∆DFK và ∆BFK có: $\widehat{AFD}=\widehat{BFK}$ (đối đỉnh) và $\widehat{ADF}=\widehat{BKF}$ (chứng minh trên)

Do đó $\Delta AFD\backsim \Delta BFK\left(\text{g.g}\right)$ suy ra $\frac{AF}{BF}=\frac{DF}{KF}$ nên $\frac{AF}{DF}=\frac{BF}{KF}.$

Xét ∆DFK và ∆AFB có: $\frac{AF}{DF}=\frac{BF}{KF}$ và $\widehat{DFK}=\widehat{AFB}$(đối đỉnh)

Do đó $\Delta DFK\backsim \Delta AFB\left(\text{c.g.c}\right)$ suy ra $\widehat{FDK}=\widehat{FAB}.\left(2\right)$ 

⦁ Ta có $\widehat{ABK}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABK}=90°,$  do đó ∆ABK vuông tại B, suy ra $\widehat{FAB}+\widehat{AKB}=90°.\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{ADB}+\widehat{FDK}=90°$  hay $\widehat{ADK}=90°.$

Khi đó ∆ADK vuông tại D nên điểm D nằm trên đường tròn đường kính AK.

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tứ giác nào sau đây luôn nội tiếp được đường tròn?

A. Hình thoi.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang.

D. Hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn, có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Câu 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định dưới đây.

A. Tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.

B. Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.

C. Cả A và B đều đúng.

D. Cả A và B đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên BD ⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90°$ .

Xét ∆AEH vuông tại E nên H, E, A thuộc đường tròn đường kính AH (1)

Xét ∆ADH vuông tại D nên D, A, H thuộc đường tròn đường kính AH (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCDE. Gọi O là trung điểm của BC.

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên DB ⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90°$ .

Xét tam giác BDC, có $\widehat{BDC}=90°$ và DO là trung tuyến nên OD = OC = OB = $\frac{1}{2}BC$ .

Xét tam giác BEC có $\widehat{BEC}=90°$ và EO là trung tuyến nên OE = OC = OB = $\frac{1}{2}BC$ .

Từ đấy suy ra OE = OC = OB = OD.

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm BC.

Câu 3. Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?

A. Hình 2.

B. Hình 3.

C. Hình 4.

D. Hình 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong các hình trên, nhận thấy Hình 4 là tứ giác nội tiếp.

Câu 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chọn câu đúng

A. AHCK là tứ giác nội tiếp.

B. AHCK không nội tiếp đường tròn.

C. $\widehat{EAO}=\widehat{HCK}$ .

D. AH.AB = AD.BD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét (O) có CH ⊥ AB (gt) nên $\widehat{CHA}=90°$ ; CK ⊥ AK (gt) nên $\widehat{CKA}=90°$ .

Có ∆CAH vuông tại H nên H, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Có ∆CKA vuông tại K nên K, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Do đó, K, H, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Suy ra AHCK là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh được ∆HAD ᔕ ∆DAB (g.g) nên $\frac{AH}{AD}=\frac{AD}{AB}$  hay AH.AB = AD².

Câu 5. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF, Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó, tứ giác OBDF là

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Tứ giác nội tiếp.

D. Hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tứ giác BDFO, có: $\widehat{DBO}=\widehat{OFD}=90°$ nên bốn điểm B, O, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính DO.

Hay BOFD là tứ giác nội tiếp.

Câu 6. Cho hình vẽ sau.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây

A. Bốn điểm M, Q, N, C nằm trên một đường tròn.

B. Bốn điểm A, N, M, B nằm trên một đường tròn.

C. Đường tròn qua ANB có tâm là trung điểm của đoạn AB.

D. Bốn điểm A, B, M, C nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat{BNA}=90°,\widehat{AMB}=90°$ .

Xét ∆BAN vuông tại N nên B, A, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Xét ∆AMB vuông tại M nên A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Do đó, A, N, M, B  cùng thuộc một đường tròn.

Câu 7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM bé hơn cung AM). Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC tại I. Khẳng định đúng là

A. MICH là hình chữ nhật.

B. MICH là hình vuông.

C. MICH không là tứ giác nội tiếp.

D. MICH là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tứ giác IMHC, ta có:

$\widehat{MIC}=90°,\widehat{CHM}=90°$.

Suy ra M, I, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính MC.

Do đó, tứ giác IMHC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Nhận thấy, tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để trở thành hình chữ nhật hay hình vuông.

Do đó, chọn đáp án D.

Câu 8. Cho hình vẽ bên, số tứ giác nội tiếp được đường tròn là

A. Có 3 tứ giác nội tiếp.

B. Có 4 tứ giác nội tiếp.

C. Có 5 tứ giác nội tiếp.

D. Có 6 tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy có 4 tứ giác nội tiếp.

• Tứ giác NHMB nội tiếp do bốn điểm N, H, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH.

• Tứ giác PHMC nội tiếp do bốn điểm P, H, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

• Tứ giác BNPC nội tiếp do bốn điểm B, N, P, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

• Tứ giác NHPA nội tiếp do bốn điểm N, H, P, A cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Câu 9. Cho hình vẽ sau. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

A. Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.

B. Tứ giác DEFC nội tiếp đường tròn.

C. $\widehat{DEF}+\widehat{FCD}=180°$ .

D. Tứ giác DEFC không nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Quan sát hình vẽ, nhận thấy bốn điểm A, B, C, D đều thuộc đường tròn nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

• Có ∆DEC vuông tại E nên D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC.

  Có ∆DFC vuông tại F nên F, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC.

Từ đây, suy ra D, E, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC hay tứ giác DEFC nội tiếp.

• Vì tứ giác DEFC nội tiếp đường tròn nên $\widehat{DEF}+\widehat{FCD}=180°$  (tính chất).

Do đó, ý D sai.

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại E. Khi đó:

(I). Tứ giác ABCD nội tiếp.

(II). Tứ giác ABCE nội tiếp.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả (I), (II) đều đúng.

D. Cả (I), (II) đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Ta có $\widehat{MDC}$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC nên $\widehat{MDC}=90°$ (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét ∆ABC vuông tại A nên A, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét ∆BDC vuông tại D nên D, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó, A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác ABCD nội tiếp.

• Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (cùng nhìn đoạn AD).

Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M, C, D, E cùng thuộc đường tròn nên tứ giác MCED là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat{MDA}=\widehat{ECM}$  (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ (cùng nhìn đoạn AB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BCA}=\widehat{ACE}$ $\left(=\widehat{ADB}\right)$.

Hay CA là phân giác của $\widehat{ECB}$

• Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp thì $\widehat{AEB}=\widehat{BCA}$ (hai góc cùng nhìn đoạn AB)

Mà $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$ ; $\widehat{BDA}\ne \widehat{BEA}$(xét trong đường tròn đường kính CM).

Suy ra $\widehat{BCA}\ne \widehat{BEA}$ , do đó tứ giác ABCE không nội tiếp.

Do đó, ý (II) sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông
• Một số bài toán tổng hợp về tứ giác nội tiếp
• Nhận biết đa giác đều
• Xác định phép quay
• Xác định vị trí của điểm, hình sau khi thực hiện phép quay

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---