Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học.

Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 (cách giải + bài tập)

 1. Phương pháp

• Để giải quyết bài toán liên quan đến kiến thức hình học bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Phân tích đề bài và gọi ẩn số (Xác định các đại lượng: chiều dài, chiều rộng, diện tích, chu vi,…)

- Bước 2: Dựa vào dữ kiện bài toán để viết phương trình (sử dụng các mối quan hệ giữa các đại lượng trong hình học).

- Bước 3: Giải hệ phương trình đã lập.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện tích thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng là x, y (m) (x > 0, y > 0).

Chu vi thửa ruộng là: 2(x + y) (m).

Theo đề, chiều rộng ngắn hơn chiều rộng 45 m nên ta có phương trình y – x = 45 (1).

Nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi không đổi nên ta có phương trình: 2.$\left(3x+\frac{y}{2}\right)$ = 2(x + y)  hay 4x – y = 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}y-x=45\\ 4x-y=0\end{array}\right.$.

Từ phương trình 4x – y = 0 suy ra y = 4x.

Thay y = 4x vào phương trình y – x = 45 ta được 3x = 45 nên x = 15 (thỏa mãn).

Thay x = 15 vào phương trình 4x – y = 0 suy ra y = 60 (thỏa mãn).

Do đó, chiều rộng thửa ruộng là 15 m, chiều dài thửa ruộng là 60 m.

Diện tích của thửa ruộng là: 15.60 = 900 (m²).

Ví dụ 2. Cho một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và chiều rộng 3 m thì diện tích tăng 100 m². Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2 m thì diện tích giảm 68 m². Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều ruộng của thửa ruộng (x, y > 0, đơn vị: m).

Diện tích của thửa ruộng là xy (m²).

Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và chiều rộng 3 m thì diện tích tăng 100 m², do đó ta có phương trình: (x + 2)(y + 3) = xy + 100 hay 3x + 2y = 94 (1).

Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2 m thì diện tích giảm 68 m², do đó ta có phương trình: (x – 2)(y – 2) = xy – 68 suy ra 2x + 2y = 72 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=94\\ 2x+2y=72\end{array}\right.$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ta suy ra 2y = 94 – 3x vào phương trình (2) ta được

2x + 94 – 3x = 72 suy ra 94 – x = 72 nên x = 22 (thỏa mãn).

Thay x = 22 vào phương trình 3x + 2y = 94 suy ra x = 14 (thỏa mãn).

Do đó, chiều dài cửa thửa ruộng là 22 m, chiều rộng của thửa ruộng là 14 m.

Vậy diện tích ban đầu của thửa ruộng là: 22.14 = 308 (m²).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một hình thang có diện tích là 140 cm², chiều cao 8 cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết chúng hơn kém nhau 5 cm.

A. Đáy lớn là 15 cm, đáy nhỏ là 20 cm.

B. Đáy lớn là 20 cm, đáy nhỏ là 15 cm.

C. Đáy lớn là 25 cm, đáy nhỏ là 10 cm.

D. Đáy lớn là 21 cm, đáy nhỏ là 14 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang lần lượt là x, y (x > 5, x > y > 0, cm).

Diện tích hình thang là 140 cm² nên ta có $\frac{\left(x+y\right).8}{2}=140$ hay x + y = 35 (1)

Đáy lớn hơn đáy bé 5 cm nên ta có phương trình x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=35\\ x-y=5\end{array}\right.$.

Thế x = 5 + y vào phương trình (1) ta được 5 + 2y = 35 hay y = 15 (thỏa mãn).

Thay y = 15 vào phương trình x – y = 5 suy ra x = 20 (thỏa mãn).

Vậy đáy lớn của hình thang là 20 cm, đáy nhỏ là 15 cm.

Bài 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m². Chiều dài của mảnh vườn là

A. 12 m.

B. 5 m.

C.17 m.

D. 7 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (0 < y < x, m).

Theo đề chu vi của mảnh vườn là 34 m nên ta có phương trình:

 2(x + y) = 34 suy ra x + y = 17 (1)

Diện tích mảnh vườn là xy (m²).

Nếu tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m² nên ta có phương trình (x + 3)(y + 2) = xy + 45 hay 2x + 3y = 39 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}x+y=17\\ 2x+3y=39\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta có x = 17 – y.

Thế x = 17 – y vào phương trình (2) ta có 2(17 – y) + 3y = 39 hay y = 5 (thỏa mãn).

Thay y = 5 vào phương trình (1) ta có x = 12 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m.

Bài 3. Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m, diện tích bằng 2430 m². Chiều rộng của thửa đất đó là

A. 54 m.

B. 45 m

C. 55 m.

D. 44 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (x > y > 0, m).

Chu vi mảnh vườn bằng 198 m nên 2(x + y) = 198 hay x + y = 99 (1).

Diện tích mảnh vườn bằng 2430 m² nên ta có xy = 2430 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=99\\ xy=2430\end{array}\right.$.

Từ phương trình (1) ta có x = 99 – y.

Thay x = 99 – y vào phương trình (2), ta được:

(99 – y).y = 2430 hay y² – 99y + 2430 = 0 hay y² – 54y – 45y + 2430 = 0.

Suy ra (y – 54)(y – 45) = 0

Do đó y = 54 (thỏa mãn) hoặc y = 45 (thỏa mãn).

Với y = 54 thay vào phương trình (1) được x = 45 (loại do x > y).

Với y = 45 thay vào phương trình (1) được y = 54 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của thửa ruộng là 45 m.

Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m. Chu vi của mảnh đất đó là

A. 12 m.

B. 5 m.

C. 17 m.

D. 34 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > 7, x > y > 0, đơn vị: m).

Mảnh đất có đường chéo là 13 m nên ta có phương trình:

 x² + y² = 13² (Định lý Pythagore) (1).

Chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m nên ta có phương trình: x – y = 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={13}^2\\ x-y=7\end{array}\right.$.

Thay x = 7 + y vào phương trình (1) ta được:

(7 + y)² + y² = 13² hay 2y² + 14y – 120 = 0 hay 2y² – 10y + 24y – 120 = 0

Suy ra (y – 5)(2y + 24) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −12 (loại).

Thay y = 5 vào phương trình (2) được x = 12 (thỏa mãn).

Do đó, chiều dài mảnh đất là 12 m và chiều rộng mảnh đất là 5 m.

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật đó là: 2(5 + 12) = 34 (m).

Bài 5. Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m, nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích như cũ. Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là

A. 20 m và 15 m.

B. 15 m và 20 m.

C. 22 m và 13 m.

D. 25 m và 10 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là x, y (x > y > 0, m).

Chu vi hình chữ nhật là 70 m nên 2(x + y) = 70 hay x + y = 35 (1).

Diện tích của hình chữ nhật là xy (m²).

Nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích như cũ nên ta có phương trình (x + 5)(y – 3) = xy hay 5y – 3x = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=35\\ 5y-3x=15\end{array}\right.$.

Từ (1) ta có y = 35 – x.

Thế y = 35 – x vào phương trình (2) ta được:

5(35 – x) – 3x = 15 hay 8x = 160 nên x = 20 (thỏa mãn)

Thay x = 20 vào (1) được y = 15 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 20 m và 15 m.

Bài 6. Nhà bạn Nam được ông bà để lại cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Hiền đến nhà Nam chơi, Nam đố Hiền tìm ra kích thước của mảnh đất khi cho biết: mảnh đất đó có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2 m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó sẽ tăng thêm 20 m². Hãy giúp Hiền tính chiều rộng của mảnh đất đó.

A. 5 m.

B. 20 m.

C. 15 m.

D. 25 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > y > 2, m).

Theo đề chiều dài gấp bốn lần chiều rộng nên ta có x = 4y (1).

Diện tích mảnh đất đó là xy (m²).

Nếu giảm chiều rộng 2m vào tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích tăng thêm 20 m² nên ta có phương trình 2x(y – 2) = xy + 20 hay xy – 4x = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=4y\\ xy-4x=20\end{array}\right.$.

Thế x = 4y vào phương trình (2) được 4y² – 8x – 20 = 0 hay y² – 4y – 5 = 0.

Suy ra (y – 5)(y + 1) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −1.

Với y = 5 thì x = 20 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 5 m.

Bài 7. Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm². Cạnh đáy của tam giác là

A. 33 dm.

B. 44 dm.

C. 30 dm.

D. 11 dm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó lần lượt là x, y (x, y > 0, dm).

Theo đề, chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy nên x = $\frac{3}{4}$ y (1).

Diện tích tam giác là $\frac{1}{2}$xy (dm²).

Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm và cạnh đáy giảm 3 dm thì diện tích tăng thêm 12 dm² nên ta có phương trình $\frac{1}{2}$(x + 3)(y – 3) =$\frac{1}{2}$xy + 12 hay xy – 3x + 3y – 9 = xy + 24

Hay 3x – 3y = −33 hay x – y = −11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}y\\ x-y=-11\end{array}\right.$.

Thay x = $\frac{3}{4}$y vào phương trình (2) ta được

$-\frac{1}{4}$y = −11 suy ra y = 44 (thỏa mãn).

Với y = 44 thì x = 33.

Chiều cao của tam giác là 33 dm, đáy là 44 dm.

Bài 8. Một hình chữ nhật ban đầu có chu vi bằng 2010 cm. Biết rằng nếu tăng chiều dài của hình chữ nhật thêm 20 cm và tăng chiều rộng thêm 10 cm thì diện tích hình chữ nhật ban đầu tăng lên 13 300 cm². Chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó lần lượt là

A. 700 cm, 300 cm.

B. 700 cm, 305 cm.

C. 300 cm, 700 cm.

D. 305 cm, 695 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là x, y (x > y > 0, cm).

Chu vi của hình chữ nhật là 2010 cm nên ta có 2(x + y) = 2010  hay x + y = 1005 (1)

Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thì kích thước hình chữ nhật mới là

Chiều dài: x + 20 (cm), chiều rộng: y + 10 (cm).

Khi đó diện tích hình chữ nhật mới là:

(x + 20)(y + 10) = xy + 13 300 hay x + 2y = 1310 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1005\\ x+2y=1310\end{array}\right.$.

Thế x = 1005 – y vào phương trình thứ (2) được 1005 – y + 2y = 1310 hay y = 305 (thỏa mãn).

Thay y = 305 vào phương trình (1) được x = 700 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật lần lượt là 700 m và 305 m.

Bài 9. Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280m người ta làm đường đi xung quanh rộng 2 m nên diện tích phần còn lại để trồng là 4256 m². Tính kích thước ban đầu của khu vườn.

A. Chiều dài 80 m, chiều rộng 60 m.

B. Chiều dài 60 m, chiều rộng 40 m.

C. Chiều dài 100 m, chiều rộng 40 m.

D. Chiều dài 90 m, chiều rộng 50 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật

(x > y > 4).

Chu vi của khu vườn là 280 m nên ta có 2(x + y) = 280 hay x + y = 140 (1)

Sau khi làm lối đi thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là x – 4 và y – 4 (m).

Diện tích phần còn lại để trồng là: (x – 4)(y – 4) = 4256 hay xy – 4x – 4y = 4240 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=140\\ xy-4x-4y=4240\end{array}\right.$.

Thế x = 140 – y vào phương trình (2) ta được:

(140 – y)y – 4(140 – y) – 4y = 4240 hay y² – 140y – 4800 = 0 hay (y – 60)(y – 80) = 0

Do đó, y = 60 hoặc y = 80.

Với y = 60 thì x = 80 (thỏa mãn do x > y).

Với y = 80 thì x = 60 (loại).

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là 80 m, chiều rộng ban đầu của khu vườn là 60 m.

Bài 10. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 m thì diện tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm². Nếu giảm chiều dài đi 2 m, chiều rộng đi 1 m thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm đi 15 cm². Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là

A. Chiều dài 12 m, chiều rộng 5 m.

B. Chiều dài 17 m, chiều rộng 7 m.

C. Chiều dài 15 m, chiều rộng 12 m.

D. Chiều dài 17 m, chiều rộng 12 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x > y > 0, cm).

Theo đề, nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 m thì diện tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm² nên ta có phương trình (x + 1)(y + 1) = xy + 13 hay x + y = 12 (1)

Nếu giảm chiều dài đi 2 m, chiều rộng đi 1 m thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm đi 15 cm² nên ta có phương trình: (x – 2)(y – 1) = xy – 15 hay x + 2y = 17 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x+2y=17\end{array}\right.$.

Thế x = 12 – y vào phương trình (2) ta được 12 – y + 2y = 17 hay y = 5 (thỏa mãn).

Với y = 5 thì x = 12 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 12 cm và 5 cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng)
• Dạng toán tìm số
• Dạng toán sử dụng kiến thức tỉ lệ phần trăm
• Một số bài toán thực tế liên quan đến giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---