Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số.

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta thực hiện các bước như sau:

- Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

- Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ để được một phương trình một ẩn và giải phương trình đó.

- Bước 3: Thế giá trị của ẩn tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Kết luận nghiệm của hệ.

• Lưu ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+5y=12\\ 2x+3y=4\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải

Thực hiện cộng từng vế của hai phương trình ta được 8y = 16, suy ra y = 2.

Thế y = 2 vào phương trình 2x + 3y = 4 ta được: 2x + 3.2 = 4 hay 2x = −2, suy ra

x = −1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (−1; 2).

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x-3y=-4\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: $\left\{\begin{array}{l}3.\left(3x+2y\right)=21\\ 2.\left(2x-3y\right)=-8\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}9x+6y=21\\ 4x-6y=-8\end{array}\right.$

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}9x+6y=21\\ 4x-6y=-8\end{array}\right.$, ta được:

13x = 13 hay x = 1.

Thế x = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có: 3.1 + 2y = 7, suy ra y = 2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 2).

3. Bài tập tự luyện

Sử dụng dữ kiện bài toán sau đây để trả lời Bài 1, 2, 3.

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x-2y=11\\ x+2y=1\end{array}\right.$. Thực hiện giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta có:

- Bước 1: Cộng từng vế của cả hai phương trình của hệ ta được phương trình………(1)

- Bước 2: Giải phương trình, ta được…….(2)

- Bước 3: Thế giá trị vừa tìm được vào phương trình x + 2y = 1 ta tìm được cặp nghiệm của hệ phương trình là ……. (3)

Bài 1. Phương trình thích hợp điền vào chỗ trống (1) là:

A. 4x + 4y = 12.

B. 4y = 12.

C. 4x = 12.

D. 4y = 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cộng từng vế của cả hai phương trình ta được hệ phương trình:

3x – 2y + x + 2y = 11 + 1 hay 4x = 12.

Bài 2. Mệnh đề thích hợp điền vào chỗ trống (2) là:

A. x = 2.

B. x = 2,5.

C. x = 3.

D. y = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giải phương trình 4x = 12, ta được x = 3.

Bài 3. Cặp số thích hợp điền vào chỗ trống (3) là:

A. (3; −1).

B. (1; 3).

C. (−1; 3).

D. (2; −1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thế x = 3 vào phương trình x + 2y = 1, ta được 2y = −2 hay y = −1.

Vậy cặp nghiệm của hệ phương trình là (3; −1).

Bài 4. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=5\\ 5x+2y=7\end{array}\right.$ có nghiệm là

A. (1; 1).

B. (1; −1).

C. (−1; 1).

D. (−1; −1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được:

3x + 2y – (5x + 2y) = 5 – 7 hay −2x = −2, suy ra x = 1.

Thay x = 1 vaod phương trình thứ nhất của hệ, ta được y = 1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 1).

Bài 5. Hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}4x-3y=0\\ x+3y=9\end{array}\right.$ có nghiệm là

A. $\left(\frac{12}{5};-\frac{9}{5}\right)$.

B. $\left(\frac{9}{5};-\frac{12}{5}\right)$.

C. $\left(\frac{12}{5};\frac{9}{5}\right)$.

D. $\left(\frac{9}{5};\frac{12}{5}\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 4x – 3y + x + 3y = 9 hay 5x = 9, do đó x = $\frac{9}{5}.$

Thay x = $\frac{9}{5}$ vào phương trình x + 3y = 9, ta được $\frac{9}{5}$ + 3y = 9, suy ra y = $\frac{12}{5}$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{9}{5};\frac{12}{5}\right)$.

Bài 6. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=7\\ \frac{5}{3}x-\frac{3}{2}y=1\end{array}\right.$ có nghiệm (x₀; y₀). Giá trị biểu thức T = x₀ + y₀ là:

A. 12.

B. 36.

C. 0.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=7\\ \frac{5}{3}x-\frac{3}{2}y=1\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}.\left(\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y\right)=7.\frac{3}{2}\\ \frac{2}{3}\left(\frac{5}{3}x-\frac{3}{2}y\right)=1.\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{4}x+y=\frac{21}{2}\\ \frac{10}{9}x-y=\frac{2}{3}\end{array}\right.$.

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được $\frac{67}{36}x=\frac{67}{6}$, do đó x = 6.

Thay x = 6 vào phương trình $\frac{1}{2}$x + $\frac{2}{3}$y = 7 ta được y = 6.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x₀; y₀) = (6; 6).

Do đó, giá trị biểu thức T = x₀ + y₀ = 6 + 6 = 12.

Bài 7. Hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+3}{y-1}=\frac{4x+1}{2y+1}\\ \frac{x+2}{y-1}=\frac{x-4}{y+2}\end{array}\right.$ có cặp nghiệm là (x₀; y₀).

Giá trị biểu thức T = 2x₀ – 3y₀ là

A. (1; 1).

B. (−1; 1).

C. (1; −1).

D. (−1; −1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: y ≠ 1, y ≠ −2, y ≠$-\frac{1}{2}$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+3}{y-1}=\frac{4x+1}{2y+1}\\ \frac{x+2}{y-1}=\frac{x-4}{y+2}\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}\left(2x+3\right)\left(2y+1\right)=\left(4x+1\right)\left(y-1\right)\\ \left(x+2\right)\left(y+2\right)=\left(y-1\right)\left(x-4\right)\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}4xy+2x+6y+3=4xy-4x+y-1\\ xy+2x+2y+4=xy-4y-4x+4\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}6x+5y=-4\\ 6x+6y=0\end{array}\right.$.

Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được y = 4.

Thay y = 1 vào phương trình 6x + 6y = 0, ta suy ra x = −1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (−1; 1).

Bài 8. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(y+3\right)=\frac{1}{2}xy+50\\ \frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-2\right)=\frac{1}{2}xy-32\end{array}\right.$ có nghiệm là

A. (2; 3).

B. (3; 2).

C. (30; 2).

D. (2; 30).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(y+3\right)=\frac{1}{2}xy+50\\ \frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-2\right)=\frac{1}{2}xy-32\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(xy+3x+2y+6\right)=\frac{1}{2}xy+50\\ \frac{1}{2}\left(xy-2x-2y+4\right)=\frac{1}{2}xy-32\end{array}\right.$ .

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x+y=47\\ -x-2y=-34\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=94\\ -x-2y=-34\end{array}\right.$.

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 2x = 60 hay x = 30.

Thay x = 30 vào phương trình −x – 2y = −34, ta được y = 2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (30; 2).

Bài 9. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+y=\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\text{y = }\sqrt{6}\end{array}\right.$ có nghiệm là

A. (2; 3).

B.( $\sqrt{3};\sqrt{2}$).

C. Hệ phương trình vô số nghiệm.

D. Hệ phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+y=\sqrt{2}\\ x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\text{y = }\sqrt{6}\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)y=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\\ x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\text{y = }\sqrt{6}\end{array}\right.$

do đó $\left\{\begin{array}{l}x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)y=\sqrt{6}+2\\ x+\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\text{y = }\sqrt{6}\end{array}\right.$.

Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được 0 = 2 (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 10. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=2\end{array}\right.$có cặp nghiệm (x₀; y₀). Giá trị của biểu thức T = $x_0^2+y_0^2$ là

A. $\frac{\sqrt{6}}{12}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C.$\frac{7}{6}$

D. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=2\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}.\left(5x\sqrt{3}+y\right)=4\\ x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=2\end{array}\right.$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=4\\ x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=2\end{array}\right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình, ta có: 4x$\sqrt{6}$ = 2, suy ra x = $\frac{\sqrt{6}}{12}$.

Thay x = $\frac{\sqrt{6}}{12}$vào phương trình thứ hai x$\sqrt{6}$ + y$\sqrt{2}$ = 2, suy ra y = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Do đó, cặp nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{\sqrt{6}}{12};\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$

Do đó, x₀ = $\frac{\sqrt{6}}{12}$ và y₀ = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$nên T = $x_0^2+y_0^2$= $\frac{6}{7}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
• Xác định hệ số trong phản ứng hóa học đã được cân bằng
• Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Dạng toán chuyển động
• Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---