Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (cách giải + bài tập)

 1. Phương pháp giải

• Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa điều kiện cho trước.

- Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m;

- Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m.

- Bước 3: Kết luận.

• Tìm mối liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số m.

- Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.

- Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

- Bước 3: Kết luận.

• Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:

- Bước 1: Tìm một nghiệm nguyên (x₀; y₀) của phương trình.

- Bước 2: Đưa phương trình về dạng a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 từ đó dễ dàng tìm ra được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right.$(I) (m là tham số).

a) Giải hệ phương trình (I) khi m = 1.

b) Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y = −3.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1, hệ phương trình (I) có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 2x-3y=1\end{array}\right.$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}2x+4y=8\\ 2x-3y=1\end{array}\right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hê, ta được: 7y = 7 khi y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình x + 2y = 4 được x = 2.

Vậy khi m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm là (2; 1).

b) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right.$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\ 2x-3y=m\end{array}\right..$

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được:7y = m + 6 suy ra y = $\frac{m+6}{7}$.

Thay y = $\frac{m+6}{7}$ vào phương trình x + y = m + 3, ta được: x + $\frac{m+6}{7}$ = m + 3, suy ra x = $\frac{5m+9}{7}$.

Lại có, x + y = −3 do đó, $\frac{m+6}{7}$+ $\frac{5m+9}{7}$ = −3 hay $\frac{6m+15}{7}$ = −3.

Suy ra 6m + 15 = −21, do đó m = −6.

Vậy với m = −6 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

x + y = −3.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x+y=2\\ mx+y=m+1\end{array}\right.$(m là tham số).

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.

Hướng dẫn giải

a) Khi m = 2 thì hệ phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.$.

Từ x + y = 2 ta có x = 2 – y.

Thế x = 2 – y vào phương trình 2x + y = 3 ta được 2(2 – y) + y = 3 hay 4 – y = 3, suy ra y = 1.

Với y = 1 thì x = 1.

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệp (1; 1) khi m = 2.

b) Có $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x+y=2\\ mx+y=m+1\end{array}\right.$

Từ phương trình (m – 1)x + y = 2 suy ra y = 2 – (m – 1)x

Thay y = 2 – (m – 1)x  vào phương trình mx + y = m + 1, ta được:

mx + 2 – (m – 1)x = m + 1 hay 2 + x = m + 1 suy ra x = m – 1.

Thay x = m – 1 vào y = 2 – (m – 1)x được y = 2 – (m – 1)².

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²).

Có 2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = −m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi m.

Vậy với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}x+\left(m+1\right)y=1\\ 4x-y=-2\end{array}\right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn 2x + 2y = 5.

A.$-\frac{5}{8}$.

B. $\frac{5}{8}$.

C. $-\frac{8}{5}$.

D. $\frac{8}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=5\\ 4x-y=-2\end{array}\right.$.

Từ phương trình 4x – y = −2 ta có y = 4x + 2.

Thay y = 4x + 2 vào phương trình 2x + 2y = 5 được:

2x + 2(4x + 2) = 5 hay 10x = 1 suy ra x = $\frac{1}{10}$

Với x =$\frac{1}{10}$  thì y = $\frac{12}{5}$.

Thay giá trị, y vừa tìm được vào phương trình x + (m + 1)y = 1 được

$\frac{1}{10}$+ (m + 1). $\frac{12}{5}$ = 1 suy ra 1 + 24(m + 1) = 10 suy ra m = $-\frac{5}{8}$.

Bài 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ mx+2y=2\end{array}\right.$với m là tham số. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 2x – 3y = 1.

A. m = 4.

B. m = 2.

C. m = −4.

D. m = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để hệ có nghiệm duy nhất khi $\frac{2}{m}$ ≠ $\frac{-1}{2}$suy ra m ≠ −4.

Từ phương trình 2x – y = 1 ta có y = 2x – 1.

Thay y = 2x – 1 vào phương trình mx + 2y = 2 suy ra mx + 2(2x – 1) = 2.

Suy ra (m + 4)x = 4 hay x = $\frac{4}{m+4}$.

Với x = $\frac{4}{m+4}$ suy ra y = $\frac{4-m}{m+4}$.

Theo đề, ta có: 2x – 3y = 1

Suy ra $\frac{8}{m+4}$− $\frac{3\left(4-m\right)}{m+4}$= 1 suy ra 8 – 12 + 3m = m + 4 hay 2m = 8 hay m = 4 (thỏa mãn).

Vậy m = 4 thỏa mãn.

Bài 3. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.$ với m là tham số. Với giá trị nào sau đây của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = y + 1.

A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = 0 hoặc m = 1.

D. m = 0 hoặc m = −1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{m}$ ≠ $\frac{m}{-1}$hay m² ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m²y – y = −m, do đó y = $\frac{2m}{m^2+1}$.

Với y = $\frac{2m}{m^2+1}$ thì x = $\frac{1-m^2}{m^2+1}$

Theo đề, ta có: x = y + 1

Suy ra $\frac{1-m^2}{m^2+1}$ = $\frac{2m}{m^2+1}$ + 1 hay $\frac{1-m^2}{m^2+1}$ = $\frac{2m+m^2+1}{m^2+1}$

Do đó, 1 – m² = m² + 2m + 1 hay 2m² + 2m = 0 hay 2m(m + 2) = 0.

Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).

Vậy m = 0 hoặc m = 1.

Bài 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.$với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0?

A. m > 1.

B. m < 1.

C. m ≤ 1.

D. m ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\frac{1}{m}$ ≠$\frac{m}{-1}$ hay m² ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m²y – y = −m, do đó y =$\frac{2m}{m^2+1}$.

Với y =$\frac{2m}{m^2+1}$ thì x = $\frac{1-m^2}{m^2+1}$.

Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ y>0\end{array}\right.$thì$\left\{\begin{array}{l}\frac{1-m^2}{m^2+1}<0\\ \frac{2m}{m^2+1}>0\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}1-m^2<0\\ 2m>0\end{array}\right.$do đó $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m>0\end{array}\right.$ nên m > 1.

Bài 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ 2x-my=-4\end{array}\right.$ với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất x – 1 > 0?

A. m > −4.

B. m ≥ −4.

C. m < −4.

D. m ≤ −4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{1}{2}\ne \frac{2}{-m}$ suy ra m ≠ −4.

Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.

Suy ra y = $\frac{-2}{m+4}$

Với y = $\frac{-2}{m+4}$ thì x = 1 – 2.$\frac{-2}{m+4}$= $\frac{m+8}{m+4}$.

Theo đề, có: x – 1 > 0 nên $\frac{m+8}{m+4}$ −1 > 0 hay $\frac{4}{m+4}>0$ suy ra m + 4 > 0 hay m > −4.

Vậy m > −4.

Bài 6. Cho hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ 2x-my=-4\end{array}\right.$với m là tham số. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y = $\frac{m^2+6}{m+4}$?

A. m = 1.

B. m = −1.

C. m = 0 hoặc m = 1.

D. m = 0 hoặc m = −1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì$\frac{1}{2}\ne \frac{2}{-m}$ suy ra m ≠ −4.

Thế x = 1 – 2y vào phương trình 2x – my = −4 được 2(1 – 2y) – my = −4.

Suy ra y = $\frac{-2}{m+4}$.

Với y = $\frac{-2}{m+4}$ thì x = 1 – 2.$\frac{-2}{m+4}$= $\frac{m+8}{m+4}$

Có x + y = $\frac{m^2+6}{m+4}$nên $\frac{-2}{m+4}$+ $\frac{m+8}{m+4}$ = $\frac{m^2+6}{m+4}$ suy ra m + 6 = m² + 6

hay m² – m = 0 hay m(m – 1) = 0.

Suy ra m = 0 hoặc m = 1 (thỏa mãn).

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì thảo mãn yêu cầu bài toán.

Bài 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.$với m là tham số. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho 3x – y = 5?

A. m = $\frac{1}{2}$.

B. m =$-\frac{1}{2}$.

C. m = $\frac{1}{4}$.

D. m = $-\frac{1}{4}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để hệ có nghiệm duy nhất thì $\frac{m}{4}\ne \frac{-1}{-m}$ suy ra m² ≠ −4 do đó m ≠ 2 và m ≠ −2.

Ta có y = mx – 2m.

Thế y = mx − 2m vào phương trình 4x – my = m + 6, ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6

4x − m²x + 2m² = m + 6

(m² – 4)x = 2m² – m – 6

(m – 2)(m + 2)x = (m – 2)(2m + 3)

(m + 2)x = 2m + 3

Suy ra x = $\frac{2m+3}{m+2}$.

Thế x = $\frac{2m+3}{m+2}$suy ra y = m.$\frac{2m+3}{m+2}$− 2m = $\frac{-m}{m+2}$.

Để 3x – y = 5 thì $\frac{3\left(2m+3\right)}{m+2}+\frac{m}{m+2}=5$

Suy ra 7m + 9 = 5m + 10 hay m =$\frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy m =$\frac{1}{2}$.

Bài 8. Cho hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}x+y=3m-1\\ x-2y=2\end{array}\right.$ với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x² – 2y² = −2.

A. m = 2.

B. m = −2.

C. m = 0 hoặc m = 2.

D. m = 0 hoặc m = −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì$\frac{1}{1}\ne \frac{1}{-1}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Thế x = 2 + 2y vào phương trình x + y = 3m – 1 được 3y = 3m – 3 hay y = m – 1.

Với y = m – 1 thì x = 2m.

Ta có: x² – 2y² = −2 nên 4m² – 2(m – 1)² = −2

Do đó 4m² – 2m² + 4m – 2 = −2 suy ra 2m² + 4m = 0 hay 2m(m + 2) = 0

Do đó m = 0 hoặc m = −2 (thỏa mãn).

Vậy m = 0 hoặc m = −2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y=2m+9\\ x+y=5\end{array}\right.$ (m là tham số). Với giá trị nào của m để biểu thức A = xy + x – 1 đạt giá trị lớn nhất?

A. m = 1.

B. m = 8.

C. m = −1.

D. m = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3}{1}\ne \frac{1}{1}$nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta có: x = 5 – y.

Thế x = 5 – y vào phương trình 3x + y = 2m + 9 được 15 – 3y + y = 2m + 9

Suy ra y = 3 – m.

Với y = 3 – m suy ra x = 2 + m.

Theo đề, A = xy + x – 1

= (3 – m)(2 + m) + 2 + m – 1

= −m² + 2m + 7

= −(m – 1)² + 8 ≤ 8.

Vậy GTLN của A = 8 khi m – 1 = 0 hay m = 1.

Bài 10. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=2-m\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.$với m là tham số. Giá trị của m để T =$\frac{y}{x}$ nguyên là

A. m = 0.

B. m = −2.

C. m = 0 hoặc m = −2.

D. m = 0 hoặc m = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{2}{1}\ne \frac{-3}{2}$nên hệ có nghiệm duy nhất.

Thay x = 3m + 1 – 2y vào phương trình 2x – 3y = 2 – m ta được:

6m + 2 – 4y – 3y = 2 – m

−7y = −7m suy ra y = m.

Thế y = m vào x = 3m + 1 – 2y được x = m + 1.

Ta có: T = $\frac{y}{x}$ =$\frac{m}{m+1}=1-\frac{1}{m+1}.$

Để T nguyên thì (m + 1) là ước của 1.

Do đó, m + 1 = 1 hoặc m + 1 = −1.

Suy ra m = 0 hoặc m = −2.

Vậy với m = 0 hoặc m = −2 thì T nguyên.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Dạng toán chuyển động
• Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học
• Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng)
• Dạng toán tìm số
• Dạng toán sử dụng kiến thức tỉ lệ phần trăm

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---