Một số bài toán về phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một số bài toán về phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

a) Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình

• Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\left(d\right)\\ a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}y=c^{\text{'}}\left(d^{\text{'}}\right)\end{array}\right.$, ta có:

Dựa vào hệ số góc và tung độ góc để biết số nghiệm của hệ, với a'b'c' ≠ 0.

- Nếu (d) cắt (d') thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

- Nếu (d) song song với (d') thì hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}\ne \frac{c}{c^{\text{'}}}.$

- Nếu (d) trùng (d') thì hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{c}{c^{\text{'}}}.$’

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích tại sao?

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=1\end{array}\right.$ ;

b) $\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 3x+3y=6\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

a) Nhận thấy $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{1}$ nên hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Nhận thấy $\frac{1}{3}=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên hai đường thẳng trùng nhau.

Vậy hệ có vô số nghiệm.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+ay=5\\ 2x+y=b\end{array}\right.$. Tìm a, b để hệ:

a) Có nghiệm duy nhất;

b) Vô nghiệm;

c) Vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\frac{3}{2}\ne \frac{a}{1}$ hay a ≠ $\frac{3}{2}$.

b) Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $\frac{3}{2}=\frac{a}{1}\ne \frac{5}{b}$ hay a ≠ $\frac{2}{3}$ và b ≠$\frac{10}{3}$.

c) Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi $\frac{3}{2}=\frac{a}{1}=\frac{5}{b}$ hay a = $\frac{2}{3}$ và b = $\frac{10}{3}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x-2y=-1\end{array}\right.$ là

A. Có nghiệm duy nhất.

B. Vô nghiệm.

C. Vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-2}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 2. Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y=4\\ 2x-4y=5\end{array}\right.$ là

A. Có nghiệm duy nhất.

B. Vô số nghiệm.

C. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $\frac{1}{2}=\frac{-2}{-4}\ne \frac{4}{5}$ nên phương trình vô nghiệm.

Bài 3. Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ x+\frac{y}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ là

A. Có nghiệm duy nhất.

B. Vô số nghiệm.

C. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy $\frac{2}{1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}$ nên phương trình có vô số nghiệm.

Bài 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=b\\ x+ay=3\end{array}\right.$. Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

A. a ≠ $\frac{1}{2}$.

B. a = $\frac{1}{2}$.

C. a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{2}{3}$.

D. a ≠ $\frac{1}{2}$ và b ≠ $\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\frac{2}{1}\ne \frac{1}{a}$ hay a ≠ $\frac{1}{2}$.

Bài 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}ax-y=6\\ 2x+y=-b\end{array}\right.$. Điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm là

A. a = −2, b = 6.

B. a = 2, b = −6.

C. a ≠ 2, b = 6.

D. a ≠ −2, b ≠ −6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện để phương trình có vô số nghiệm là: $\frac{a}{2}=\frac{-1}{1}=\frac{6}{-b}$ hay a = −2, b = 6.

Bài 6. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{a}-y=5\\ x+3y=2b\end{array}\right.$. Điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm là

A. a = −3, b = $-\frac{15}{2}$.

B. a = 3, b = $\frac{15}{2}.$

C. a = −3, b ≠ $-\frac{15}{2}$.

D. a = −3, b ≠ $\frac{15}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm là $\frac{\frac{1}{a}}{1}=\frac{-1}{3}\ne \frac{5}{2b}$ hay a = −3 và b ≠ $-\frac{15}{2}$.

Bài 7. Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}ax-y=b\\ a^{\text{'}}x-y=b\end{array}\right.$. Hệ đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi

A. a ≠ a'.

B. a = a'.

C. a = b.

D. a ≠ b.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi a = a'.

Bài 8. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y=m+1\\ mx-y=4\end{array}\right.$. Giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm là

A. m = 2.

B. m = −10.

C. m = 2 hoặc m = −10.

D. Không có giá trị m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm là: $\frac{1}{m}=\frac{-2}{-1}=\frac{m+1}{4}$ 

khi m = $\frac{1}{2}$ và m = −10 (vô lí).

Vậy không có giá trị m thỏa mãn để hệ có vô số nghiệm.

Bài 9. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y=5\sqrt{m}\\ \sqrt{m}x-y=4\end{array}\right.$. Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

A. m = $\frac{1}{4}.$

B. m ≠ $\frac{1}{4}.$

C. m > 0 và m ≠ $\frac{1}{4}.$

D. m ≥ 0 và m ≠ $\frac{1}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: m ≥ 0 và $\frac{1}{\sqrt{m}}\ne \frac{-2}{-1}$.

Suy ra m ≥ 0 và m ≠ $\frac{1}{4}.$

Bài 10. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\\ mx+y=2m\end{array}\right.$ (với m là tham số). Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

A. m = 1.

B. m = −1.

C. m ≠ 1 và m ≠ −1.

D. m ≠ 1 hoặc m ≠ −1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

$\frac{1}{m}\ne \frac{m}{1}$ hay m² ≠ 1. Suy ra m ≠ 1 và m ≠ −1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
• Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
• Xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
• Xác định hệ số trong phản ứng hóa học đã được cân bằng
• Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---