Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông.

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định cạnh huyền, tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đã cho.

Bước 2. Dựa vào nhận xét: “Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền”, ta tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng cách lấy nửa độ dài cạnh huyền đã tính ở Bước 1.

Chú ý: Tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC. Ta có OA là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên OA = $\frac{1}{2}$BC = OB = OC.

Vậy đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là đường tròn có tâm O là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25.

Suy ra BC = $\sqrt{25}=5$ (cm).

Vậy bán kính của đường tròn là: 5 : 2 = 2,5  (cm).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm và BC = 13 cm.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore đảo vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = 5² + 12² = 25 +144 =169 = 13².

Suy ra AB² + AC² = BC².

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Suy ra diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}$.5.12  = 30 (cm²).

b) Do tam giác ABC vuông tại A nên A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó, bán kính đường tròn là $\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5$ (cm).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5 cm.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính bằng

A. Nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

B. Cạnh huyền của tam giác vuông đó.

C. Hai lần cạnh huyền của tam giác vuông đó.

D. Độ dài một cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Câu 2. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

A. Tam giác ABC vuông tại A.

B. Điểm B thuộc đường tròn đường kính AC.

C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm cạnh BC.

D. Điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lý Pythagore đảo, nhận thấy 3² + 4² = 25 = 5².

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm cạnh BC.

Điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Do đó, khẳng định B là khẳng định sai.

Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = 13 cm, AC = 12 cm, BC = 5 cm. Khẳng định nào sau đây là đúng? Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. Trung điểm cạnh AC.

B. Điểm nằm trên cạnh AB và cách C một khoảng bằng 6,5 cm.

C. Giao ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

D. Trung điểm cạnh CB và cách A một khoảng bằng 6,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định kí Pythagore đảo trong tam giác ABC, có:

AC² + BC² = 12² + 5² = 13² hay AC² + BC² = BA².

Suy ra tam giác ABC vuông tại C.

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh AB, nằm cách C một khoảng bằng 6,5 cm.

Câu 4. Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là

A. tam giác đều.

B. tam giác vuông.

C. tam giác tù.

D. tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 18 cm, AC = 24 cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là

A. 30 cm.

B. 10 cm.

C. 20 cm.

D. 15 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC, có:

AB² + AC² = BC² hay BC² = 900 nên BC = 30 cm.

Do tam giác ABC vuông tại A nên bán kính đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của BC và bằng 15 cm.

Câu 6. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a.

A. Tâm là A và bán kính R = $a\sqrt{2}$.

B. Tâm là trung điểm cạnh huyền AC và bán kính R = $a\sqrt{2}$.

C. Tâm là trung điểm cạnh huyền BC và bán kính R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

D. Tâm là điểm B và bán kính là R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC vuông tại A nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền BC.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB² + AC² = BC² hay BC = $a\sqrt{2}$.

Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = $\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Câu 7. Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; 7,5 cm). Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$. Chu vi tam giác ABC là

A. 7,5 cm.

B. 14,5 cm.

C. 36 cm.

D. 15 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên độ dài cạnh BC là: 2.7,5 = 15 (cm)

Ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$ hay AB = $\frac{3}{4}AC$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = BC² hay $\frac{9}{16}A{C}^2$ + AC² = BC² nên $\frac{25}{16}A{C}^2=225$

Suy ra AC² = 144 hay AC = 12 (cm).

Do đó, AB = 9 cm.

Vậy chu vi tam giác ABC là:  12 +15 + 9 = 36 (cm).

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 6 cm. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 5 cm. Độ dài cạnh AC là

A. 5 cm.

B. 10 cm.

C. 8 cm.

D. 4 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Độ dài cạnh BC là 5.2 = 10 (cm)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC, có:

AC² + AB² = BC²  nên AC² = BC² – AB² = 64 hay AC = 8 (cm).

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại B nội tiếp đường tròn (O) và đường kính BD. Biết rằng AB = a cm và $\widehat{BAC}=2\widehat{CBD}$. Bán kính của đường tròn này là

A. 2a.

B. a.

C. $\frac{a}{2}.$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O) có:

$\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CD)

Vì góc BAD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BAD}=90°$.

Ta có: $\frac{3}{2}\widehat{BAC}=\widehat{BAC}+\widehat{CBD}$

Do đó, $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=90°$

Suy ra $\widehat{BAC}=\frac{2}{3}.90°=60°$

Ta có: BC = $\frac{AB}{\cos 60°}$ = 2a.

Do đó, bán kính của đường tròn này là: $\frac{BC}{2}=a$.

Câu 10. Người ta vẽ bảng quy hoạch của một khu định cư xung quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một hình tam giác với độ dài các cạnh làm 900 m, 1 200 m và 1 500 m. Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó.

Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách một con đường với khoảng cách là bao nhiêu?

A. 150 m.

B. 300 m.

C. 200 m.

D. 100 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore đảo vào tam giác ABC, có: BC² = AB² + AC².

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Ta có O là nơi xây khách sạn và khoảng cách từ khách sạn đến ba con đường là OH = OI = OK = R.

Ta có: S_ABC = S_AOC + S_AOC + S_BOC, trong đó S_AOB, S_AOC, S_BOC lần lượt là diện tích các tam giác AOB, AOC, BOC)

Có: S_ABC = $\frac{1}{2}R.AB+\frac{1}{2}R.AC+\frac{1}{2}R.BC.$

               = $\frac{1}{2}R.\left(AB+AC+BC\right)$

               = $\frac{1}{2}R.P$ (S_ABC là diện tích ∆ABC và P là chu vi)

Do đó, R = $\frac{2S_{ABC}}{P}=\frac{2.540000}{3600}=300\left(m\right)$.

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường 300 m.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau
• Tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp đường tròn
• Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
• Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông
• Một số bài toán tổng hợp về tứ giác nội tiếp

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---