Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau.

Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

− Để giải quyết dạng toán này, ta có thể sử dụng nhận xét “Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác”, kết hợp cùng tính chất của các góc nội tiếp, góc ở tâm trong đường tròn, …

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng $\widehat{BOC}=120°$ và $\widehat{OCA}=20°$. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O), ta có: $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC}$ và góc ở tâm cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$ nên $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60°$ .

Ta có, tam giác BOC cân tại O có góc ở đỉnh $\widehat{BOC}=120°$ (gt)

Suy ra $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\frac{180°-\widehat{BOC}}{2}=\text{}\frac{180°-120°}{2}=30°$ .

Do đó, $\widehat{BCA}=\widehat{OCB}+\widehat{OCA}=50°$ .

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat{ABC}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{BCA}\right)=180°-\left(60°+50°\right)=70°$.

Vậy số đo các góc của tam giác ABC là: $\widehat{BAC}=60°,\widehat{ABC}=70°;\widehat{BCA}=50°$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi OI là đường cao của tam giác AOC cân tại O, ta có đồng thời là đường phân giác của góc $\widehat{AOI}=\widehat{COI}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$ .

Xét đường tròn (O) ta có $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cùng AC nên $\widehat{ABC}=\frac{\widehat{AOC}}{2}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{AOI}$ .

Hai tam giác APB và AIO đều vuông tại P và I mà $\widehat{ABP}=\widehat{AOI}$ (chứng minh trên)

Nên suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho (O; 4) có dây AC bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (điểm C và A nằm cùng phía với BO). Tính số đo góc ACB.

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 15°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) nên sđ $\stackrel{⏜}{AC}$ = 90°.

     BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp nên sđ $\stackrel{⏜}{BC}$ = 120°.

Do đó, sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ = 120° − 90° = 30°.

Có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB nên $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BC}=15°$ .

Câu 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm (O), đường kính AM. Góc BAH bằng

A. góc AMC.

B. góc ABH.

C. góc ACM.

D. góc OCA.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\widehat{ACM}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆ABH và ∆AMC, có:

$\widehat{ABH}=\widehat{AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

$\widehat{ACM}=\widehat{AHB}=90°$

Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC (g.g)

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$ hay $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ .

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; 4). Biết rằng AC = 4 cm. Lấy D là điểm bất kì khác A, B, C trên đường tròn. Chọn khẳng định đúng.

A. $\widehat{BDA}=90°$

B. $\widehat{BCA}=30°$

C. $\widehat{CDA}=30°$

D. $\widehat{CBA}=60°$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét ∆AOC, có OA = OC = AC = 4 cm.

Suy ra tam giác AOC đều nên $\widehat{OCA}=60°$.

Ta có: $\widehat{OCA}=\widehat{BDA}=60°$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Xét ∆ABC vuông tại A, có: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90°$ (hai góc phụ nhau)

Do đó,$\widehat{ABC}=90°-\widehat{ACB}=90°-60°=30°.$

Lại có, $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=30°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Vậy $\widehat{CDA}=30°$

Câu 4. Cho đường tròn như hình vẽ dưới đây. Biết rằng, CA = CD,$\widehat{BDA}=26°,$$\widehat{ACD}=28°$ . Số đo góc BAC là

A. 90°.

B. 80°.

C. 50°.

D. 100°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ACD có AC = CD nên ∆ACD cân tại C.

Do đó, $\widehat{DAC}=\widehat{CDA}=\frac{180°-\widehat{ACD}}{2}=\frac{180°-28°}{2}=76°$ .

Mà $\widehat{CDB}+\widehat{BDA}=\widehat{ADC}$.

$\widehat{CDB}+26°=76°$

$\widehat{CDB}=76°-26°=50°$

Mà $\widehat{CDB}=\widehat{BAC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

Do đó, $\widehat{BAC}=50°$.

Câu 5. Cho đường tròn tâm O và hai dây cung AB // CD. Trên cung AB lấy điểm M. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.

A. $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$

B. $\widehat{AMB}=\widehat{CMD}.$

C. $\widehat{AMC}=\widehat{AMB}.$

D. $\widehat{BMA}=\widehat{BMD}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat{AMC}$ là góc nội tiếp chắn cung AC, $\widehat{BMD}$ là góc nội tiếp chắn cung BD.

Mà AB // CD nên $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{DB}$ . Do đó, $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ .

Câu 6. Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Lấy B ∈ (O) sao cho $\widehat{ACB}=70°$ . Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ (O)). Số đo $\widehat{CDB}$ là

A. 20°.

B. 30°.

C. 10°.

D. 40°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{ABC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Có BD ⊥ AC với AC là đường kính đường tròn (O) nên AC là đường trung trực của BD.

Do đó, $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}=70°$ .

Suy ra $\widehat{CDB}=90°-\widehat{ACD}=90°-70°=20°$.

Câu 7. Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến ABC và  ADE với đường tròn đó (B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E). Kẻ dây BF // DE. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. $\widehat{DBF}=\widehat{BCE}.$

B. $\widehat{BDC}=\widehat{BFC}.$

C. $\widehat{DBF}=\widehat{DCF}.$

D. $\widehat{DFB}=\widehat{FCD}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\widehat{DBF}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{DF}=\frac{1}{2}(sd\stackrel{⏜}{DE}+sd\stackrel{⏜}{EF})$ và $\widehat{BCE}=\frac{1}{2}sd\stackrel{⏜}{BE}=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{BD}+sd\stackrel{⏜}{DE}\right)$

Mặt khác DE // BF nên $\widehat{EDF}=\widehat{BFD}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{EDF}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{EF}$; $\widehat{DFB}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{DB}$

Do đó, $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{EF}$.

Ta lại có $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{BD}+\stackrel{⏜}{DE};\stackrel{⏜}{DF}=\stackrel{⏜}{FE}+\stackrel{⏜}{DE}$ .

Từ đó suy ra $\stackrel{⏜}{FBD}=\stackrel{⏜}{ECB}$ .

Ta có: $\widehat{BDC}=\widehat{BFC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

           $\widehat{DBF}=\widehat{DCF}$  (góc nội tiếp cùng chắn cung DF)

Do đó, đáp án D sai.

Câu 8. Cho đường tròn (O) và điểm E nằm ngoài đường tròn. Vẽ cát tuyến EAB và ECD với đường tròn (A nằm giữa E và B, C nằm giữa E và D). Gọi F là một điểm trên đường tròn sao cho B nằm chính giữa cung DF, I là giao điểm của FA và BC. Biết $\widehat{E}=25°$, số đo góc AIC là

A. 20°.

B. 50°.

C. 25°.

D. 30°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì B nằm chính giữa cung DF nên $sd\stackrel{⏜}{DF}=sd\stackrel{⏜}{BF}$.

Mặt khác góc tại E và I là hai góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên

$\widehat{E}=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{BD}+sd\stackrel{⏜}{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(sd\stackrel{⏜}{BF}-sd\stackrel{⏜}{AC}\right)=\widehat{I}$

Theo đề bài, ta có: $\widehat{E}=\widehat{I}=25°$.

Câu 9. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E) kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $\widehat{MFO}=2\widehat{MBO}.$

B. $\widehat{MFO}=\frac{1}{2}\widehat{MBO}.$

C. $\widehat{MFO}=\widehat{MBO}.$

D. $\widehat{MFO}=2\widehat{MOB}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{MOA}$ là góc ở tâm chắn cung MA, $\widehat{MBA}$ là góc nội tiếp chắn cung MA.

Do đó, $\widehat{MOA}=2\widehat{MBA}.$

Vì EF là tiếp tuyến với (O) tại M nên OM ⊥ EF.

Ta có: $\widehat{MOA}=\widehat{EFO}$ (cùng phụ với $\widehat{FEO}$ .

Suy ra $\widehat{EFO}=2\widehat{MBA}$ hay $\widehat{MFO}=2\widehat{MBO}.$

Câu 10. Cho đường tròn (O) đường kính BC cố định. Điểm A di động trên đường tròn khác B và C. Vẽ đường kính AD. Khi A ở vị trí mà diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất thì góc ADC bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 45°.

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC là S_∆ABC = $\frac{1}{2}BC.AH$ .

Vì BC là đường kính nên BC cố định.

Suy ra diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất.

Xét tam giác AHO vuông tại H, có AH ≤ AO (AO là cạnh huyền)

Suy ra S_∆ABC = $\frac{1}{2}BC.AH$  ≤ $\frac{1}{2}BC.AO=\frac{1}{2}2R.R=R^2$ .

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ O. Khi đó A là điểm chính giữa cung BC hay AD ⊥ BC.

Xét tam giác ACD có: $\widehat{ACD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có CO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, ∆ACD vuông cân tại C nên $\widehat{CAD}=\widehat{CDA}=45°$ .

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC và $\widehat{CDA}=45°$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp đường tròn
• Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
• Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông
• Một số bài toán tổng hợp về tứ giác nội tiếp
• Nhận biết đa giác đều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---