200+ Trắc nghiệm Giải tích 2 (có đáp án)

Chọn đáp án A

Giải thích:

Đặt

$\Rightarrow {\int }_0^{+\infty }{x}^5{e}^{-x^4}\mathrm{dx}=\frac{1}{4}{\int }_0^{+\infty }{u}^{\frac{1}{2}}{e}^{-u}\mathrm{du}$$=\frac{1}{4}{\int }_0^{+\infty }{u}^{\frac{3}{2}-1}{e}^{-u}\mathrm{du}=\frac{1}{4}\Gamma (\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{8}$

Chọn đáp án D

Giải thích:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{6}xco{s}^{4}x\mathrm{dx}$$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{(\sin x)}^{2.\frac{7}{2}-1}{(cosx)}^{2.\frac{5}{2}-1}\mathrm{dx}$$=\frac{1}{2}B(\frac{7}{2},\frac{5}{2})$

$=\frac{1}{2}\frac{\Gamma (\frac{7}{2}).\Gamma (\frac{5}{2})}{\Gamma (6)}$$=\frac{1}{2}.\frac{45}{32}.\frac{\Gamma (\frac{1}{2}).\Gamma (\frac{1}{2})}{5!}=\frac{3\pi }{512}$

Chọn đáp án A

Giải thích:

Đặt ln 3.x² = u

$\Rightarrow {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^6.3^{-x^2}\mathrm{dx}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{u^3}{{(\ln 3)}^3}\frac{e^{-u}}{2\sqrt{\ln 3}.u}\mathrm{du}$$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{(\ln 3)}^{-\frac{7}{2}}.u^{\frac{5}{2}}{e}^{-u}\mathrm{du}$

$=\frac{{(\ln 3)}^{\frac{-7}{2}}}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{u}^{\frac{7}{2}-1}.e^{-u}\mathrm{du}$$=\frac{{(\ln 3)}^{\frac{-7}{2}}}{2}.\Gamma (\frac{7}{2})=\frac{15\sqrt{\pi }}{16{(\ln 3)}^{\frac{7}{2}}}$

$\Rightarrow$ a = 15, b = 16

Chọn đáp án C

Giải thích:

Đặt x⁴ = u

$\Rightarrow {\int }_0^{+\infty }\frac{x^2}{{(1+x^4)}^4}\mathrm{dx}=\frac{1}{4}{\int }_0^{+\infty }\frac{u^{\frac{-1}{4}}du}{{(1+u)}^4}$$=\frac{1}{4}B(\frac{3}{4},\frac{13}{4})=\frac{1}{4}\frac{\Gamma (\frac{3}{4}).\Gamma (\frac{13}{4})}{\Gamma (4)}$

Chọn đáp án B

Giải thích:

Đặt u = x³⁰

$\Rightarrow {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt[30]{1-x^{30}}}\mathrm{dx}=\frac{1}{30}{\int }_0^1\frac{u^{\frac{29}{20}}}{\sqrt[30]{1-u}}\mathrm{du}$$=\frac{1}{30}{\int }_0^1{u}^{\frac{1}{30}-1}.{(1-u)}^{\frac{29}{30}-1}\mathrm{du}$$=\frac{1}{30}B(\frac{1}{30},\frac{29}{30})=\frac{1}{30}\frac{\pi }{\sin (\frac{\pi }{30})}$

Chọn đáp án

Giải thích:

Chọn đáp án B

Giải thích:

Đặt ln ($\frac{1}{x}$) = u

$\Rightarrow {\int }_0^1{(\ln \frac{1}{x})}^{10}\mathrm{dx}=-{\int }_{+\infty }^0{u}^{10}.e^{-u}\mathrm{du}$$={\int }_0^{+\infty }{u}^{11-1}.e^{-u}\mathrm{du}=\Gamma (11)$ = 10!

Chọn đáp án B

Giải thích:

Đặt ln x = u

$\Rightarrow {\int }_0^1{x}^5{(\ln x)}^{10}\mathrm{dx}={\int }_{-\infty }^0{e}^{6u}.u^{10}\mathrm{du}$

Đặt 6u = -t $\Rightarrow$ du = $\frac{-dt}{6}$, $u^{10}=\frac{t^{10}}{6^{10}}$

Đổi cận: u = 0 $\Rightarrow$ -t = 0, u $\to$ −∞ $\Rightarrow$ -t $\to$ +∞

$\Rightarrow {\int }_{-\infty }^0{e}^{6u}.u^{10}\mathrm{du}=\frac{1}{6^{11}}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}.t^{10}\mathrm{dt}$$=\frac{1}{6^{11}}\Gamma (11)=\frac{10!}{6^{11}}$

Chọn đáp án C và D

Giải thích:

Đặt $I={\int }_{-\infty }^0{e}^{2x}\sqrt[3]{1-e^{3x}}\mathrm{dx}$

Đặt u = e^3x $\Rightarrow$ du = 3e^3x dx $\Rightarrow$ dx = $\frac{du}{3e^{3x}}=\frac{u^{-1}du}{3}$

Với x = 0 $\Rightarrow$ u = 1, x = −∞ $\Rightarrow$ u = 0

$I=\frac{1}{3}{\int }_0^1{u}^{\frac{2}{3}}{(1-u)}^{\frac{1}{3}}{u}^{-1}\mathrm{du}$$=\frac{1}{3}{\int }_0^1{u}^{\frac{-1}{3}}{(1-u)}^{\frac{1}{3}}\mathrm{du}$$=\frac{1}{3}B(\frac{2}{3},\frac{4}{3})=\frac{1}{3}\frac{\Gamma (\frac{2}{3}).\Gamma (\frac{4}{3})}{\Gamma (2)}$

Mà $\Gamma (\frac{4}{3})=\frac{1}{3}\Gamma (\frac{1}{3})\Rightarrow I=\frac{1}{9}\frac{\Gamma (\frac{2}{3}).\Gamma (\frac{1}{3})}{1!}$$=\frac{1}{9}\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\pi }{1!}=\frac{2}{9\sqrt{3}}\pi$

Chọn đáp án A

Giải thích:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{(\sin x)}^{\frac{7}{2}}{(cosx)}^{\frac{5}{2}}\mathrm{dx}$$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{(\sin x)}^{2.\frac{9}{4}-1}{(cosx)}^{2.\frac{7}{4}-1}\mathrm{dx}$$=\frac{1}{2}B(\frac{9}{4},\frac{7}{4})=\frac{1}{2}\frac{\Gamma (\frac{9}{4}).\Gamma (\frac{7}{4})}{\Gamma (4)}$

$\Rightarrow TP=\frac{1}{2}.B(\frac{9}{4},\frac{7}{4})=\frac{1}{2}.\frac{15}{16}.\frac{\Gamma (\frac{1}{4}).\Gamma (\frac{3}{4})}{\Gamma (4)}$$=\frac{15}{128}\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}\pi }{3!}=\frac{5\pi }{128\sqrt{2}}$

Chọn đáp án A

Giải thích:

Phương trình đoạn OA là

$\Rightarrow {\int }_L(x+y)\mathrm{ds}$$={\int }_0^4(x+\frac{3}{4}x)\frac{5}{4}\mathrm{dx}=\frac{35}{2}$

Chọn đáp án B

Giải thích:

Đường C:

$\Rightarrow ds=\sqrt{x^{\text{'}2}(t)+y^{\text{'}2}(t)}dt$ = 2dt

$\Rightarrow {\int }_L(x+y)\mathrm{ds}=2{\int }_0^{\pi }(2+2cost+2\sin t)\mathrm{dt}$ = 8 + 4$\pi$

Chọn đáp án C

Giải thích:

Nửa đường tròn C: Tham số hóa C

Đặt

$\Rightarrow {\int }_C(mx-y)\mathrm{ds}=3{\int }_0^{\pi }(3mcost-3\sin t)\mathrm{dt}$ = -18 $\Rightarrow$ m = 3

Chọn đáp án B

Giải thích:

C: x² + y² = 2x $\iff$ (x - 1)² + y² = 1

Đặt

$\Rightarrow {\int }_C(x-y)\mathrm{ds}={\int }_0^{2x}(1+cost-\sin t)\mathrm{dt}=2\pi$

Chọn đáp án D

Giải thích:

Cung C:

$\Rightarrow ds=\sqrt{r^2(\phi )+r{\text{'}}^2(\phi )}d\phi$$=\sqrt{cos2\phi +\frac{{\sin }^{2}2\phi }{cos2\phi }}d\phi =\frac{1}{\sqrt{cos2\phi }}d\phi$

Đặt

$\Rightarrow {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}r(cos\phi +\sin \phi )\frac{1}{\sqrt{cos2\phi }}d\phi$$={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{cos2\phi }(cos\phi +\sin \phi )\sqrt{\frac{1}{cos2\phi }}d\phi =\sqrt{2}$

Chọn đáp án A

Giải thích:

Ta có C: x^2/3 + y^2/3 = 1 $\iff$ (x^1/3)² + (y^1/3)² = 1

Tham số hóa:

$\Rightarrow ds=\sqrt{x{\text{'}}^2(t)+y{\text{'}}^2(t)}dt=\sqrt{9{\sin }^{2}tco{s}^{4}t+9co{s}^{2}t{\sin }^{4}t}dt$ = 3sintcostdt

Tại

$\Rightarrow {\int }_C(y^2+1)\mathrm{ds}=3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{6}t+1)\sin tcost\mathrm{dt}$$=3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{7}t+\sin t)d(\sin t)$$=3{\int }_0^1(u^7+u)\mathrm{du}=\frac{15}{8}$

Chọn đáp án B

Giải thích:

Đường C: $\Rightarrow$ x' (y) = 2y $\Rightarrow$ ds = $\sqrt{1+x{\text{'}}^2(y)}dy=\sqrt{1+4y^2}dy$

$\Rightarrow {\int }_{C}y\mathrm{ds}={\int }_0^{1}y\sqrt{1+4y^2}dy$$=\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{1+4y^2}d(y^2)=\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{1+4u}\mathrm{du}$$=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$

Chọn đáp án C

Giải thích:

Ta có: ${\int }_{L}xy\mathrm{ds}={\int }_{AB}xy\mathrm{ds}+{\int }_{BC}xy\mathrm{ds}+{\int }_{CD}xy\mathrm{ds}+{\int }_{DA}xy\mathrm{ds}$

Phương trình AB:

Phương trình BC:

Phương trình CD:

Phương trình DA:

Chọn đáp án D

Giải thích:

Đường C: |x| + |y| = 1

Phương trình AB:

Phương trình BC:

Phương trình CD:

Phương trình DA:

${\oint }_{C}xyds$$={\int }_{AB}xy\mathrm{ds}+{\int }_{BC}xy\mathrm{ds}+{\int }_{CD}xy\mathrm{ds}+{\int }_{DA}xy\mathrm{ds}$

Xét ${\int }_{AB}xy\mathrm{ds}$, ta có $ds=\sqrt{1+y{\text{'}}^2(x)}dx=\sqrt{2}dx$$\Rightarrow {\int }_{AB}xy\mathrm{ds}=\sqrt{2}{\int }_0^{1}x(1-x)\mathrm{dx}=\frac{\sqrt{2}}{6}$

Xét ${\int }_{BC}xy\mathrm{ds}$, ta có $ds=\sqrt{1+y{\text{'}}^2(x)}dx=\sqrt{2}dx$$\Rightarrow {\int }_{BC}xy\mathrm{ds}=\sqrt{2}{\int }_0^{1}x(x-1)\mathrm{dx}=\frac{-\sqrt{2}}{6}$

Xét ${\int }_{CD}xy\mathrm{ds}$, ta có $ds=\sqrt{1+y{\text{'}}^2(x)}dx=\sqrt{2}dx$

$\Rightarrow {\int }_{CD}xy\mathrm{ds}=\sqrt{2}{\int }_{-1}^{0}x(-x-1)\mathrm{dx}=-\frac{\sqrt{2}}{6}$

Xét ${\int }_{DA}xy\mathrm{ds}$, ta có $ds=\sqrt{1+y{\text{'}}^2(x)}dx=\sqrt{2}dx$$\Rightarrow {\int }_{DA}xy\mathrm{ds}=\sqrt{2}{\int }_{-1}^{0}x(x+1)\mathrm{dx}=\frac{-\sqrt{2}}{6}$

$\Rightarrow {\oint }_{C}xyds$$={\int }_{AB}xy\mathrm{ds}+{\int }_{BC}xy\mathrm{ds}+{\int }_{CD}xy\mathrm{ds}+{\int }_{DA}xy\mathrm{ds}$ = 0

Chọn đáp án A

Giải thích:

Đặt $\Rightarrow$ Đường cong L:

$\Rightarrow d\mathrm{s\; =}\sqrt{r^2(\phi )+r{\text{'}}^2(\phi )}d\phi$$=\sqrt{4co{s}^2\phi +4{\sin }^2\phi }d\phi =2\phi$

${\int }_L\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{ds}={\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{r^2}.2\mathrm{d\phi }$$=2{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}r\mathrm{d\phi }=2{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2cos\phi \mathrm{d\phi }=8$

Chọn đáp án C

Giải thích:

Cung $\stackrel{⏜}{AB}$:

$\Rightarrow {\int }_{\stackrel{⏜}{AB}}(x-3y)\mathrm{dx}+2ydy$$={\int }_1^{-1}[x-3(1-x^2)]\mathrm{dx}+{\int }_1^{-1}2(1-x^2).(-2x)\mathrm{dx}=4$

Chọn đáp án C

Giải thích:

${\int }_{ABC}5y^4\mathrm{dx}-4x^{3}dy$$={\int }_{AB}5y^4\mathrm{dx}-4x^{3}dy+{\int }_{BC}5y^4\mathrm{dx}-4x^{3}dy$ = I₁ + I₂

Đoạn thẳng AB:

$\Rightarrow I_1={\int }_0^{1}5{(1-x)}^4\mathrm{dx}+{\int }_0^1(-4x^3).(-\mathrm{dx})=2$

Đoạn thẳng BC:

$\Rightarrow I_2={\int }_1^{0}5{(x-1)}^4\mathrm{dx}+{\int }_1^0(-4x^3).\mathrm{dx}=0$

${\int }_{ABC}5y^4\mathrm{dx}-4x^{3}dy$ = I₁ + I₂ = 2

Chọn đáp án D

Giải thích:

Đặt với t chạy từ $\pi$ đến $\pi$/2. Đặt $I={\int }_C(x+xy)\mathrm{dx}+m{x}^{2}dy$

$I={\int }_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}[(2cost+4cost)(-2\sin t)+m.{(2cost)}^2(2cost)]\mathrm{dt}$

$={\int }_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}(-4cost\sin t-8cost{\sin }^{2}t+8mco{s}^{3}t)\mathrm{dt}$

$={\int }_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}(-4\sin t-8{\sin }^{2}t+8mco{s}^{2}t)cost\mathrm{dt}$

$={\int }_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}(-4\sin t-8{\sin }^{2}t+8m-8m{\sin }^{2}t)cost\mathrm{dt}$

$={\int }_{\pi }^{\frac{\pi }{2}}[-4\sin t-(8+8m){\sin }^{2}t+8m]d(\sin t)$

$={\int }_0^1[-4u-(8+8m)u^2+8m]d(u)=\frac{-10}{3}$

$\Rightarrow$ m = 1 / 4

Chọn đáp án A

Giải thích:

Đặt $I={\oint }_L(xy+e^x\sin x+x+y)dx+(-xy+e^{-y}-x+\sin y)dy$

Đặt: P = xy + e^x sin x + x + y, Q = -xy + e^-y - x + sin y

$\Rightarrow$P'_y = x + 1, Q'_x = -y - 1. P'_y, Q'_x liên tục với x, y ∈ R.

Đường cong L kín hướng dương, giới hạn miền D: x² + y² ≤ 2x

Áp dụng công thức Green, ta có:

$I={\iint }_D(-y-x-2)dxdy$

Nhận xét: hàm số f (x, y) = -y là hàm lẻ với biến y, miền D đối xứng qua trục Ox

$\Rightarrow {\iint }_D-ydxdy$ = 0 = $I={\iint }_D(-x-2)dxdy$

Đặt: |J| = r. Miền (D):

$I={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d\phi }{\int }_0^1(-rcos\phi -3)rdr$$={\int }_0^{2\pi }(\frac{-1}{3}cos\phi -\frac{3}{2})\mathrm{d\phi }=-3\pi$

Chọn đáp án B

Giải thích:

Đặt $I={\oint }_{L}2xdx-[x^2+2y+e^{y^2+1}+\sin (y^2)]dy$

Đặt

, P'_y, Q'_x liên tục với x, y ∈ R

Gọi D là miền được giới hạn bởi chu tuyến $∆$ABC

D được giới hạn bởi các đường:

L là đường cong kín, hướng âm, giới hạn miền D. Áp dụng công thức Green:

$I=-{\iint }_D-2xdxdy={\iint }_{D}2xdxdy$$={\int }_0^{2}dy{\int }_{\frac{y-2}{2}}^{2-y}2x\mathrm{dx}$ = 2