(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán năng suất

Bài toán năng suất nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán năng suất

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Năng suất lao động là khối lượng công việc làm trong một thời gian, thể tích nước chảy vào bể trong một thời gian,... Với các dạng bài liên quan đến công việc, bể nước thì ta coi công việc, thể tích bể nước là 1 đơn vị.

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Bài toán làm chung, làm riêng

Phương pháp giải: Để giải quyết các bài toán làm chung, làm riêng (thường giải quyết các bài toán liên quan đến vòi nước chảy vào bể hoặc làm chung, làm riêng công việc), ta thực hiện như sau: Bước 1. Đặt ẩn và điều kiện của đại lượng thích hợp. Bước 2.  − Đối với vòi nước: biểu diễn thời gian mỗi vòi nước chảy vào bể, các vòi nước đều chảy vào trong một bể. − Đối với công việc: biểu diễn năng suất công việc khi làm chung và khi làm riêng. Bước 3. Biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng rồi lập phương trình hoặc hệ phương trình cho bài toán. Bước 4. Giải phương trình hoặc hệ phương trình đã lập và kết luận.

Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được $\frac{3}{10}$bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được $\frac{4}{5}$bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Hướng dẫn giải:

Gọi $x,y$(giờ) lần lượt là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể $\left(x,y>0\right)$.

Vòi I chảy 1 giờ được $\frac{1}{x}$(bể), vòi II chảy 1 giờ được $\frac{1}{y}$(bể).

Vòi I và vòi II cùng chảy 1 giờ được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$(bể).

Vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ được $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{4}{5}$(bể).

Ta có bảng sau:

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{10}\\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{4}{5}\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình ta được $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{5}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{10}\end{array}\right.$. Từ đó ta suy ra $\left\{\begin{array}{ll}x=5& \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(\mathrm{TM})\\ y=10& \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(\mathrm{TM})\end{array}\right.$.

Vậy thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là 5 giờ và 10 giờ.

Ví dụ 2. Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được $\frac{2}{3}$công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?

(Trích đề thi vào 10 Toán tỉnh Bình Định 2019 – 2020)

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội thứ nhất là x(giờ,$\left(x>5\right)$

Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất 5 giờ nên thời gian đội thứ hai làm riêng để hoàn thành công việc là $x-5$(giờ).

Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được $\frac{1}{x}$(công việc).

Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được $\frac{4}{x}$(công việc).

Trong 4 giờ đội thứ hai làm được $\frac{4}{x-5}$(công việc).

Trong 4 giờ cả hai đội làm được: $\frac{4}{x}+\frac{4}{x-5}=\frac{2}{3}$(công việc).

Theo đề bài, ta có phương trình $\frac{4}{x}+\frac{4}{x-5}=\frac{2}{3}$.

Giải phương trình ta được $x=2$ (loại) hoặc $x=15\text{ (TM)}$.

Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 15 giờ, của đội thứ hai là 10 giờ.

Dạng 2. Bài toán công việc theo dự định và thực hiện

Phương pháp giải:  Để giải quyết các bài toán công việc theo dự định và thực hiện, ta thực hiện như sau: Bước 1. Đặt ẩn và điều kiện của đại lượng thích hợp. Bước 2. Biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 3. So sánh năng suất dự định và thực hiện rồi lập phương trình hoặc hệ phương trình cho bài toán. Bước 4. Giải phương trình hoặc hệ phương trình đã lập và kết luận.

Ví dụ 3.Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là x  (sản phẩm) $\left(x\in {\mathbb{N}}^{\text{*}},x<900\right)$

Do đó, theo kế hoạch, thời gian phân xưởng làm xong 900 sản phẩm là $\frac{900}{x}$  (ngày).

Thực tế, mỗi ngày, phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch nên thực tế, số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm là $x+15$  (sản phẩm).

Do đó, thực tế, thời gian phân xưởng làm xong 900 sản phẩm là $\frac{900}{x+15}$  (ngày).

Vì phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm 3 ngày trước khi hết thời hạn nên ta có phương trình: $\frac{900}{x+15}+3=\frac{900}{x}$

Giải phương trình ta được $x=60\text{ (TM)}$ hoặc $x=-75$ (loại).

Vậy số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là 60 sản phẩm.

Ví dụ 4. Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 140 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 4 sản phẩm mỗi ngày. Do đó, tổng đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi x(sản phẩm) là số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được $\left(x\in {\mathbb{N}}^{*},x>4\right).$

Thời gian thực tế mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm là $\frac{140}{x}$(ngày).

Theo kế hoạch mỗi ngày tổ công nhân đó sản xuất được số sản phẩm $x-4$(sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm $\frac{140}{x-4}$(ngày).

Theo đề bài ta có thời gian thực tế hoàn thành xong sớm hơn so với thời gian dự định là 4 ngày nên ta có phương trình $\frac{140}{x-4}-\frac{140}{x}=4$.

Giải phương trình ta được $x=14\text{ (TM)}$ hoặc $x=-10$ (loại).

Vậy thực tế mỗi ngày tổ công nhân đã làm được 14 sản phẩm.

Ví dụ 5. Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo?

(Trích đề thi Toán vào 10 tỉnh Hải Dương 2019 – 2020)

Hướng dẫn giải:

Gọi xlà số bộ quần áo mà xưởng may phải may trong một ngày theo kế hoạch $\left(0<x<360,x\in \mathbb{N}\right)$.

Suy ra số ngày mà xưởng may phải hoàn thành theo kế hoạch là $\frac{360}{x}$(ngày).

Số bộ quần áo mà xưởng thực tế đã may trong một ngày là $x+4$(bộ).

Số ngày thực tế mà xưởng may đã hoàn thành là $\frac{360}{x+4}+1=\frac{360}{x}$(ngày)

Theo bài ta có phương trình: $\frac{360}{x+4}+1=\frac{360}{x}$.

Giải phương trình ta được $x=36\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(TM)}$ hoặc $x=-40$ (loại).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may 36 bộ quần áo.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Một xưởng có kế hoạch in xong $6000$ quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong $6000$ quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch.

Bài 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chuyển động

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán có nội dung hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán cấu tạo số

• (Ôn thi Toán vào 10) Các dạng Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình khác

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---