Sách bài tập Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Sách bài tập Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 20 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xác định các hệ số a, b, c ; tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của các phương trình :

a. 2x² – 5x + 1 = 0     b. 4x² + 4x + 1 = 0

c. 5x² – x + 2 = 0     d. -3x² + 2x + 8 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 2x² – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = -5, c = 1

Ta có: Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0

√Δ = √17

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

b. Phương trình 4x² + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1

Ta có: Δ = b² – 4ac = 4² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

Phương trình có nghiệm kép :

c. Phương trình 5x² – x + 2 = 0 có a = 5, b = -1, c = 2

Ta có: Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

d. Phương trình -3x² + 2x + 8 = 0 có a = -3, b = 2, c = 8

Ta có: Δ = b² – 4ac = 2² – 4.(-3).8 = 4 + 96 = 100 > 0

√Δ = √100 = 10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Bài 21 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình :

Lời giải:

a. Phương trình 2x² - 2√2 x + 1 = 0 có a = 2, b = -2√2 , c = 1

Ta có: Δ = b² – 4ac = (-2√2 )² – 4.2.1 = 8 – 8 = 0

Phương trình có nghiệm kép :

b. Phương trình 2x² – (1 - 2√2 )x - √2 = 0 có a = 2, b = -(1 - 2√2 ), c = -√2

Ta có: Δ = b² – 4ac = [-(1 - 2√2 )]² – 4.2.(-√2 )

= 1 - 4√2 + 8 + 8√2 = 1 + 4√2 + 8

= 1 + 2.2√2 + (2√2 )² = (1 + 2√2 )² > 0

= 1 + 2√2

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

d. Phương trình 3x² + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36

Ta có: Δ = b² – 4ac = 7,9² – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0

√Δ = √22,09 = 4,7

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Bài 22 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải phương trình bằng đồ thị :

Cho phương trình 2x² + x – 3 = 0.

a. Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x², y = -x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b. Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

c. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Lời giải:

a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x²

x	-2	-1	0	1	2
y = 2x2	8	2	0	2	8

*Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3

Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3)

Cho y = 0 thì x = 3 ⇒ (3; 0)

b. Ta có: I(-1,5; 4,5), J(1; 2)

*x = -1,5 là nghiệm của phương trình 2x² + x – 3 = 0 vì:

2(-1,5)² + (-1,5) – 3 = 4,5 – 4,5 = 0

*x = 1 là nghiệm của phương trình 2x² + x – 3 = 0 vì:

2.1² + 1 – 3 = 3 – 3 = 0

c. Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² – 4.2.(-3) = 1 + 24 = 25 > 0

√∆ = √25 = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Bài 23 trang 53 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình

a. Vẽ các đồ thị của hai hàm sô , y = 2x – 1 trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

b. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.

Lời giải:

a. *Vẽ đồ thị hàm số

x	-2	-1	0	1	2
	2	1/2	0	1/2	2

*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1

Cho x = 0 thì y = -1 ⇒ (0; -1)

Cho y = 0 thì x = 1/2 ⇒ (1/2 ; 0)

Bài 24 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a. mx²– 2(m – 1)x + 2 = 0    b. 3x² + (m + 1)x + 4 = 0

Lời giải:

a. Phương trình mx² – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ = 0

Ta có: Δ = [-2(m – 1)]² – 4.m.2 = 4(m² – 2m + 1) – 8m

= 4(m² – 4m + 1)

Δ = 0 ⇔ 4(m² – 4m + 1) = 0 ⇔ m² – 4m + 1 = 0

Giải phương trình m² – 4m + 1 = 0. Ta có:

Δm = (-4)² – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0

Vậy với m = 2 + √3 hoặc m = 2 - √3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

b. Phương trình 3x² + (m + 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ = 0

Ta có : Δ = (m + 1)² – 4.3.4 = m² + 2m + 1 – 48 = m² + 2m – 47

Δ = 0 ⇔ m² + 2m – 47 = 0

Giải phương trình m² + 2m – 47 = 0. Ta có:

Δm = 2² – 4.1.(-47) = 4 + 188 = 192 > 0

Vậy với m = 4√3 – 1 hoặc m = -1 - 4√3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

Bài 25 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, tính nghiệm của phương trình theo m:

a. mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0

b. 2x² – (4m + 3)x + 2m² – 1 = 0

Lời giải:

a. mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0 (1)

*Nếu m = 0, ta có (1) ⇔ -x + 2 = 0 ⇔ x = 2

*Nếu m ≠ 0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0

Ta có : Δ = (2m – 1)² – 4m(m + 2) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 8m

= -12m + 1

Δ ≥ 0 ⇔ -12m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/12

Vậy khi m ≤ 1/12 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (1) theo m :

b. 2x² – (4m + 3)x + 2m² – 1 = 0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0

Ta có: Δ = [-(4m + 3)]² – 4.2(2m² – 1)

= 16m² + 24m + 9 – 16m² + 8 = 24m + 17

Δ ≥ 0 ⇔ 24m + 17 ≥ 0 ⇔ m ≥ -17/24

Vậy khi m ≥ -17/24 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (2) theo m:

Bài 26 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Vì sao khi phương trình ax² + bx + c = 0 có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng: Không tính Δ, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a. 3x²– x – 8 = 0

b. 2004x² + 2x - 1185√5 = 0

c. 3√2 x² + (√3 - √2 )x + √2 - √3 = 0

d. 2010x² + 5x – m² = 0

Lời giải:

Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0

Ta có: Δ = b² – 4ac, trong đó b² > 0

Nếu -4ac > 0 thì Δ luôn lớn hơn 0.

Khi Δ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng :

a. Phương trình 3x² – x – 8 = 0 có:

a = 3, c = -8 nên ac < 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b. Phương trình 2004x² + 2x - 1185√5 = 0 có:

a = 2004, c = -1185√5 nên ac < 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

c. Phương trình 3√2 x² + (√3 - √2 )x + √2 - √3 = 0 có:

a = 3√2 , c = √2 - √3 nên ac < 0 (vì √2 < √3 )

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

d. 2010x² + 5x – m² = 0 (1)

*Với m = 0 thì (1) ⇔ 2010x² + 5x = 0: phương trình có 2 nghiệm.

*Với m ≠ 0 ta có: m² > 0, suy ra: -m² < 0

Vì a = 2010 > 0, c = -m² < 0 nên ac < 0

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 1 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a)4x² - 9 = 0

b)5x² + 20 = 0

c)2x² - 2 + √3 = 0

d)3x² - 12 + √145 = 0

Lời giải:

b) 5x² + 20 = 0 ⇔ 5x² = - 20

Vế trái 5x² ≥ 0; vế phải -20 < 0

Không có giá trị nào của x để 5x² = - 20

Phương trình vô nghiệm.

Δ = 0² - 4.5.20 = - 400 < 0. Phương trình vô nghiệm.

Bài 2 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng hai cách (phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) 5x² - 3x = 0

b) 3√5 x² + 6x = 0

c) 2x² + 7x = 0

d) 2x² - √2 x = 0

Lời giải:

Bài 3 trang 54 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình

Lời giải:

Bài 4 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng nếu phương trình ax² + bx + c = x (a ≠ 0) vô nghiệm thì phương trình a(ax² + bx + c)² + b(ax² + bx + c) + c = x cũng vô nghiệm.

Lời giải:

Đặt f(x) = ax² + bx + c

Xem thêm Video Giải sách bài tập Toán lớp 9 (SBT Toán 9) hay và chi tiết khác:

• Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
• Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
• Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
• Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---