Giải bài 73 trang 62 SGK Giải Tích 12 nâng cao



Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1

Bài 73 (trang 62 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Cho hàm số f(x) = x3+px+q

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì Phương trình x3+px+q = (1) có 3 nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 4p3+27q2<0

Lời giải:

Quảng cáo

a) f'(x)=3x2+p

Để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu thì phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và f’(x) đối dấu qua các điểm đó. Vật p < 0

⇔ ∆’ = - 3p > 0 hay p < 0 .

Vậy p < 0.

b) Cách 1.

Dạng đồ thị như hình vẽ.

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình x3+px+q= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Cách 2.

Hàm số f(x) = x3+px+q liên tục trên R và có

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao
Quảng cáo

f=f(x1 ),fCT=f(x2 )

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao

nên tồn tại số a sao cho f(a) < 0, a<x1<

Vì f(a).f < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a,x1)

Và f(x1 ).f(x2 ) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x1,x2)

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao

nên tồn tại một số b > x2 sao cho f(b) > 0

Vì f(x2 ),f(b)<0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x2,b)

Do Phương trình bậc ba có nhiều nhất là 3 nghiệm. vậy Phương trình x3+px+q=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chú ý: khẳng định trên đúng với Phương trình bậc ba tổng quát.

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao

Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số.

Theo câu b, ta có điều kiện cần và đủ để Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau, nghĩa là yCD.yCT<0 <=> f(x1 ).f(x2 )<0

Giải Toán 12 nâng cao | Giải bài tập Toán lớp 12 nâng cao
Quảng cáo

Các bài giải bài tập Giải Tích 12 nâng cao Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1 khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


cau-hoi-va-bai-tap-on-tap-chuong-1.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác