Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 12

Ôn tập chương 3 Hình học 12

Bài 5 (trang 92 SGK Hình học 12): Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp(α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C).

Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Lời giải:

Quảng cáo

Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 nên mặt cầu này có tâm I( 3; –2; 1) và bán kính R = 10.

Gọi H là tâm của đường tròn (C). Khi đó; H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mp(α).

Đường thẳng IH vuông góc với mp(α) nên nhận $\vec{n_{α}}$ = (2; –2; –1) làm VTCP.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng IH là:

$\{\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 1 - t \end{matrix}$

Điểm H thuộc đường thẳng IH nên tọa độ H là H(3 + 2t; – 2– 2t; 1– t).

Mặt khác, điểm H nằm trên mp(α) thay tọa độ điểm H vào phương trình mp(α) ta được:

2(3 + 2t) – 2(–2– 2t) – (1– t) + 9 = 0

⇔ 6 + 4t + 4 + 4t – 1 + t + 9 = 0

⇔ 9t + 18 = 0 nên t = –2.

Vậy H( –1; 2; 3).

Ta có: IH = $\sqrt{{(3 + 1)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}}$ = 6

Suy ra bán kính đường tròn (C) là:

$r = \sqrt{R^{2} - I H^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$

Quảng cáo

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R là :

(S) : (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

+ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R có thiết diện là một đường tròn bán kính r, ta luôn có:

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 3 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official