Phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình một ẩn

• Phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Người ta thường dùng phương trình khi nói về việc tìm x₀ để A(x₀) = B(x₀).

Ví dụ 1.

5x – 1 = 2x là phương trình bậc nhất với ẩn x;

3(y – 1) + 4 = y – 6 là phương trình bậc nhất với ẩn y.

• Giá trị của biến làm cho hai vế của phương trình có giá trị bằng nhau gọi là nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ 2. Cho phương trình 3x – 7 = 3 – 2x. Kiểm tra xem x = –1 và x = 2 có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Hướng dẫn giải

• Với x = –1, thay vào hai vế của phương trình ta có: 3 . (–1) – 7 ≠ 3 – 2 . (–1).

Do đó, x = –1 không là nghiệm của phương trình đã cho.

• Với x = 2, thay vào hai vế của phương trình ta có: 3 . 2 – 7 ≠ 3 – 2 . 2 (đều bằng –1).

Do đó, x = –1 không là nghiệm của phương trình đã cho.

2. Phương trình một ẩn một ẩn và cách giải

Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 3. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất và hệ số trong các phương trình sau:

1 + x = 0; x + x² = 0; 1 – 2x = 0; 3x = 0; 0x – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

− Phương trình 1 + x = 0 là phương trình bậc nhất với a = 1; b = 1.

− Phương trình x + x² không phải phương trình bậc nhất vì có chứa x² bậc hai.

− Phương trình 1 – 2x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn t với a = –2 và b = 1.

− Phương trình 3x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn y với a = 3 và b = 0.

− Phương trình 0x – 3 = 0 không phải phương trình bậc nhất vì hệ số bậc nhất a = 0.

* Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:

Việc tìm các nghiệm của một phương trình gọi là giải phương trình đó.

Để giải phương trình, ta thường sử dụng các quy tắc biến đổi sau:

• Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);

• Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

• Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

Áp dụng các quy tắc trên, ta giải phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

ax + b = 0

ax = −b (chuyển b từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành −b)

x = $\frac{-b}{a}$ (chia hai vế cho a)

Vậy phương trình có nghiệm x= $\frac{-b}{a}$.

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) 5x – 1 = 0;

b) $\frac{1}{2}x+5=0$.

Hướng dẫn giải:

a) 5x – 1 = 0

5x = 1

x = 1 : 5

x = $\frac{1}{5}$.

Vậy nghiệm phương trình là x = $\frac{1}{5}$

b) $\frac{1}{2}x+5=0$

$\frac{1}{2}x=-5$

x = (-5) : $\frac{1}{2}$

x = –10.

Vậy nghiệm phương trình là x = –10.

Chú ý:

• Trong thực hành, nhiều trường hợp để giải một phương trình ta biến đổi để đưa các phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn.

• Quá trình giải phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó, phương trình có thể không có nghiệm (vô nghiệm) hoặc nghiệm đúng với mọi x.

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x)

b) 4(x – 4) = –7x +17

Hướng dẫn giải:

a) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 6 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 5 + 6

9x = 13

x = $\frac{13}{9}$.

Vậy nghiệm phương trình là x = $\frac{13}{9}$.

b) 4(x – 4) = –7x +17

4x – 16 = –7x + 17

4x + 7x = 17 + 16

11x = 33

x = 3

Vậy nghiệm phương trình là x = 3.

Bài tập Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x);

b) $\frac{x}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{15x}{12}=\frac{x}{4}-5$;

c) $\frac{2(x+5)}{3}+\frac{x+12}{2}-\frac{5(x-2)}{6}=\frac{x}{3}+11$.

Hướng dẫn giải

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 2 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 3

9x = 9

x = 1.

Vậy nghiệm phương trình là x = 1.

b) $\frac{x}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{15x}{12}=\frac{x}{4}-5$

$\frac{4x}{12}-\frac{10x}{12}-\frac{15x}{12}=\frac{3x}{12}-\frac{60}{12}$

4x - 10x - 15x = 3x - 60

3x – 4x + 10x + 15x = 60

24x = 60

x = $\frac{5}{2}$.

Vậy nghiệm phương trình là x = $\frac{5}{2}$.

c) $\frac{2(x+5)}{3}+\frac{x+12}{2}-\frac{5(x-2)}{6}=\frac{x}{3}+11$

$\frac{4(x+5)}{6}+\frac{3(x+12)}{6}-\frac{5(x-2)}{6}=\frac{2x}{6}+\frac{66}{6}$

4(x + 5) + 3(x + 12) – 5(x – 2) = 2x + 66

4x + 20 + 3x + 36 – 5x + 10 = 2x + 66

2x + 66= 2x + 66

0x = 0 (thỏa mãn mọi giá trị của x)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 2. Cho A = $\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}$ và B = $\frac{5x+4}{3}+3$ . Tính giá trị của x để A = B.

Hướng dẫn giải:

Để A = B thì $\frac{4x+3}{5}-\frac{6x-2}{7}$ = $\frac{5x+4}{3}+3$

$\frac{21(4x+3)-15(6x-2)}{105}=\frac{35(5x+4)+3.105}{105}$

21(4x + 3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 3 . 105

84x + 63 – 90x + 30 = 175x + 455

84x – 90x – 175x = 455 – 30 – 63

–181x = 362

x = –2.

Vậy để A = B thì x = –2.

Bài 3. An và Minh gặp nhau tại một hội sách. An mua 3 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 120 nghìn đồng, Minh mua 5 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 80 nghìn đồng. Biết số tiền phải trả của 2 bạn bằng nhau.

a) Gọi x (nghìn đồng)là giá tiền của mỗi cuốn truyện Conan. Viết phương trình biểu thị tổng số tiền hai bạn An và Minh phải trả là bằng nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm giá tiền mỗi cuốn truyện Conan.

Hướng dẫn giải:

a) Số tiền An phải trả là 3x + 120 (nghìn đồng).

Số tiền Minh phải trả là 5x + 80 (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có phương trình biểu diễn tương ứng số tiền của 2 bạn là

3x + 120 = 5x + 80.

b) Ta có phương trình:

3x + 120 = 5x + 80

5x – 3x = 120 – 80

2x = 40

x = 20

Vậy giá 1 cuốn Conan là 20 nghìn đồng.

Bài 4. Hiện nay tuổi của bố Dũng gấp 5 lần tuổi của Dũng. Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng gấp 3 lần tuổi của Dũng.

a) Viết phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố Dũng sau 6 năm.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tính số tuổi hiện tại tuổi của Dũng.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi số tuổi hiện nay của Dũng là x (tuổi).

Số tuổi hiện nay của bố Dũng là 5x (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của Dũng là x + 6 (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng là 5x + 6 (tuổi).

Theo đề bài, ta có phương trình: 5x + 6 = 3(x + 6).

Vậy phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố sau 6 năm là 5x + 6 = 3(x + 6).

b) Ta có 5x + 6 = 3(x + 6)

5x + 6 = 3x + 18

5x – 3x = 18 – 6

2x = 12

x = 12 : 2

x = 6.

Vậy tuổi của Dũng hiện tại là 6 tuổi .

Bài 5. Theo số liệu thống kê, dân số của một đất nước sau mỗi năm được biểu diễn qua phương trình

M = N(1 + 0,032).

Trong đó, M là số dân của đất nước đó năm nay (triệu người);

N là số dân nước đó vào năm trước (triệu người).

Biết số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người. Tính số dân đất nước đó năm trước.

Hướng dẫn giải

Số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người nên M = 103,2 (triệu người).

Theo đề bài ta có 103,2 = N(1+0,032)

N = $\frac{103,2}{1+0,032}$

N = 100 (triệu người).

Vậy dân số của đất nước đó vào năm trước là 100 triệu người.

Bài 6. Công thức Lozentz tính cân nặng lý tưởng theo chiều cao dành cho nam là F = $T-100-\frac{T-150}{4}$, trong đó F là cân nặng lý tưởng (kg) và T là chiều cao (cm) (T > 0). Anh Minh có cân nặng 65kg thì phải đạt chiều cao bao nhiêu để cân nặng của anh là cân nặng lý tưởng?

Hướng dẫn giải

Thay F = 65 vào công thức ta có:

65 = $T-100-\frac{T-150}{4}$

$T-\frac{T-150}{4}=65+100$

$T-\frac{T}{4}+\frac{75}{2}=165$

$\frac{3}{4}T=\frac{255}{2}$

$T=\frac{255}{2}:\frac{3}{4}$

T = 170 (TMĐK).

Vậy anh Minh phải cao 170 cm thì cân nặng của anh là lý tưởng.

Học tốt Phương trình bậc nhất một ẩn

Các bài học để học tốt Phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 5

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Đường trung bình của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---