Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có BE là phân giác góc ABC (E ∈ AC). Cho AB = 6 cm, BC = x cm, AE = 5 cm, EC = 3 cm. Tính độ dài của x.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác góc E nên:

$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}$ hay $\frac{6}{x}=\frac{5}{3}$

Do đó $x=\frac{6.3}{5}=3,6$.

2. Áp dụng tính chia tỉ lệ của đường phân giác của tam giác

Ta có thể vận dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác để tính tỉ lệ các đoạn thẳng hoặc khoảng cách.

Ví dụ 2. Cho tam giác OMN có OD là đường phân giác góc MON (D ∈ MN). Biết DN = 7 cm, ON = 9 cm. Tính tỉ số $\frac{OM}{MD}$ .

Hướng dẫn giải

Xét tam giác OMN có OD là đường phân giác góc O nên $\frac{ON}{OM}=\frac{DN}{MD}$

Suy ra $\frac{ON}{DM}=\frac{OM}{MD}$ (tính chất của tỉ lệ thức).

Do đó $\frac{OM}{MD}=\frac{9}{7}$.

Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC có CE là đường phân giác góc ACB (E ∈ AB). Biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm, AE = x cm, EB = y cm. Tính độ dài x và y.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có CE là đường phân giác góc C nên

$\frac{AC}{CB}=\frac{AE}{EB}$ hay $\frac{x}{y}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.Suy ra $x=\frac{3}{5}y$.

Vì AE + EB = AB hay x + y = 8

Do đó $\frac{3}{5}y+y=8$, suy ra $\frac{8}{5}y=8$.

Vậy y = 5 và x = 8 – 5 = 3.

Bài 2. Cho tam giác ABC có chu vi là 18 cm, các đường phân giác BD, CE. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết $\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2};\frac{AE}{EB}=\frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

• BD là đường phân giác của góc ABC nên $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$ hay $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$.

Suy ra BC = 2AB. (1)

• CE là đường phân giác của góc ACB nên $\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}$ hay $\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$.

Suy ra $AC=\frac{3}{4}BC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC=\frac{3}{2}AB$.

Chu vi tam giác ABC bằng:

$AB+AC+BC=AB+\frac{3}{2}AB+2AB=\frac{9}{2}AB=18$.

Suy ra AB = 4 cm.

Do đó BC = 2 . 4 = 8 (cm), $AC=\frac{3}{2}.4=6$ (cm).

Vậy AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 6 cm.

Bài 3. Cho tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc EDF (I ∈ EF). Biết DE = 5 cm, EF = 9 cm, DF = 8 cm. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DEI và DFI.

Hướng dẫn giải

Tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc D.

Do đó ta có: $\frac{DE}{DF}=\frac{EI}{IF}$ hay $\frac{EI}{IF}=\frac{5}{8}$.

Tỉ số diện tích của tam giác DEI và DFI chính là tỉ số $\frac{EI}{IF}$ (vì hai tam giác này có chung đường cao hạ từ D đến EF).

Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEI và tam giác DFI là $\frac{5}{8}$.

Bài 4. Một người đứng đỉnh tháp Busan (điểm D) quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, C lần lượt là chân ba cột đèn sao cho A, B, C thẳng hàng (như hình dưới đây). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, B thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, C, tức là góc ADB = góc BDC. Hỏi tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng bao nhiêu? Biết khoảng cách giữa hai chân cột đèn A, B là 30 m và khoảng cách giữa hai chân cột đèn B, C là 25 m.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có: AB = 30 m, BC = 25m;

góc ADB = góc BDC suy ra DB là tia phân giác góc ADC

Xét ∆ADC có DB là tia phân giác góc ADC, nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADC ta có:

$\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{30}{25}=\frac{6}{5}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C bằng $\frac{6}{5}$.

Bài 5. Ba bạn Mai, Lan, Điệp hẹn gặp nhau tại nhà bạn Lan, biết rằng nhà bạn Mai ở vị trí A, nhà bạn Lan ở vị trí G và nhà bạn Điệp ở vị trí M (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của CD. Quãng đường bạn Điệp đi từ nhà tới nhà bạn Lan là 3 km. Hỏi bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là bao nhiêu kilômét để gặp Lan và Điệp?

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: GM = 3 km.

Vì ABCD là hình vuông nên CD = AD và DB là tia phân giác của góc ADC

Do M là trung điểm của DC nên $DM=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}DA$ (do CD = AD).

Suy ra $\frac{DM}{DA}=\frac{1}{2}$.

Xét ∆ADM có: DG là tia phân giác của góc ADM (do DB là tia phân giác của góc ADC).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADM với DG là tia phân giác của góc ADM ta có:

$\frac{DM}{DA}=\frac{GM}{GA}$ hay $\frac{1}{2}=\frac{3}{GA}$ nên GA = 2 . 3 = 6 (km).

Vậy bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là GA = 6 km để gặp Lan và Điệp.

Học tốt Tính chất đường phân giác của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất đường phân giác của tam giác Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Đường trung bình của tam giác

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 7

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Hai tam giác đồng dạng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Hai hình đồng dạng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---