Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 7 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 7: Định lí Thalès sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết cùng các bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Chương 7.

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 7 Chân trời sáng tạo

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Lý thuyết tổng hợp Toán 8 Chương 7

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

1.1. Tỉ số của hai đoạn thẳng

• Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

• Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là: $\frac{AB}{CD}$

Chú ý:

− Để tính tỉ số của hai đoạn thẳng, ta phải đưa chúng về cùng một đơn vị đo.

− Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo độ dài đoạn thẳng.

1.2. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN nếu:

$\frac{AB}{CD}=\frac{EF}{MN}hay\frac{AB}{EF}=\frac{CD}{MN}$.

2. Định lí Thalès trong tam giác

2.1. Định lí Thalès

Định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

2.2. Hệ quả của định lí Thalès

Định lí Thalès: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Chú ý: Hệ quả của định lí Thalès vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại

2.2. Định lí Thalès đảo

Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

3. Đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Chú ý: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

4. Tính chất đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

5. Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Ta có thể vận dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác để tính tỉ lệ các đoạn thẳng hoặc khoảng cách.

Bài tập tổng hợp Toán 8 Chương 7

Bài 1. Tìm tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) AB = 2 cm và CD = 4 cm.

b) MN = 15 cm và PQ = 45 cm.

Hướng dẫn giải

a) Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là: $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

b) Tỉ số của hai đoạn thẳng MN và PQ là: $\frac{MN}{PQ}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có BE là phân giác góc ABC (E ∈ AC). Cho AB = 6 cm, BC = x cm, AE = 5 cm, EC = 3 cm. Tính độ dài của x.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác góc E nên:

$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}$ hay $\frac{6}{x}=\frac{5}{3}$

Do đó $x=\frac{6.3}{5}=3,6$.

Bài 3. Cho hình vẽ, biết HK // BC. Tính độ dài x.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có HK // BC nên theo định lí Thalès, ta có:

$\frac{AH}{HB}=\frac{AK}{KC}$ hay $\frac{3}{6}=\frac{4}{x}$.

Do đó $x=\frac{6.4}{3}=8$.

Bài 4.Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình vẽ dưới đây và giải thích vì sao chúng song song với nhau?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{EC}{AE}=\frac{2,5}{2}=\frac{5}{4}$; $\frac{DC}{BD}=\frac{3}{2,4}=\frac{5}{4}$.

Suy ra $\frac{EC}{AE}=\frac{DC}{BD}$.

Áp dụng định lí Thalès đảo trong tam giác ABC suy ra DE // AB.

Bài 5.Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho $\frac{AO}{OD}=\frac{3}{2}$. Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tính tỉ số $\frac{AI}{IB}$ .

Hướng dẫn giải

Kẻ thêm DH // CI (H thuộc AB) thì DH // IO.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆ADH có DH // IO, ta có: $\frac{AI}{IH}=\frac{AO}{OD}=\frac{3}{2}$.

Khi đó AI = 3t ; IH = 2t (t > 0).

Ta có: BD + DC = BC, suy ra DC = BC – BD = 2BD – BD = BD nên BC = 2DC.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆BIC có DH // IC, ta có:

$\frac{BI}{IH}=\frac{BC}{CD}=2$ nên BI = 2IH = 2 . 2t = 4t.

Vậy $\frac{AI}{IB}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}$.

Bài 6. Cho tam giác OMN có OD là đường phân giác $\widehat{MON}$ (D ∈ MN). Biết DN = 7 cm, ON = 9 cm. Tính tỉ số $\frac{OM}{MD}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác OMN có OD là đường phân giác góc O nên $\frac{ON}{OM}=\frac{DN}{MD}$

Suy ra $\frac{ON}{DM}=\frac{OM}{MD}$ (tính chất của tỉ lệ thức).

Do đó $\frac{OM}{MD}=\frac{9}{7}$.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD tại G.

Chứng minh AH . CD = AD . CG.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD có HE // BD, theo định lí Thalès ta có: $\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}$ (1)

Xét ∆CBD có GF // BD, theo định lí Thalès ta có: $\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}$ (2)

Xét ∆ABC có EF // AC, theo định lí Thalès ta có: $\frac{AE}{AB}=\frac{CF}{CB}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}$ hay $\frac{AH}{AD}=\frac{CG}{CD}$.

Từ đó suy ra AH . CD = AD . CG.

Bài 8. Để tính chiều cao AB của một ngôi nhà (như hình vẽ), người ta đo chiều cao của cái cây ED = 4 m và biết được các khoảng cách BD = 7 m, DC = 5 m. Tính chiều cao AB của ngôi nhà.

Hướng dẫn giải

Ta có BC = BD + DC = 7 + 5 = 12 (m).

Xét tam giác ABC có ED // AB (cùng vuông góc với BC) nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:

$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}$ hay $\frac{4}{AB}=\frac{5}{12}$

Suy ra $AB=\frac{4.12}{5}=9,6$ (m).

Vậy chiều cao của ngôi nhà là 9,6 m.

Bài 9. Tính độ dài x trong hình vẽ dưới đây.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $DE=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay AB = 2DE = 2 . 3 = 6.

Vậy AB = 6.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AC và BC. Tính độ dài AC, biết DE = 5 cm.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có D là trung điểm của AC, E là trung điểm BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $DE=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay AB = 2DE = 2 . 5 = 10 (cm).

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AC = AB = 10 cm.

Vậy AC = 10 cm.

Bài 11. Cho tam giác MNP có MN = 6 cm, MP = 9 cm. Trên cạnh MN, MP lần lượt lấy các điểm G, I sao cho MG = 3 cm và MI = 4,5 cm. Chứng minh GI // NP.

Hướng dẫn giải

Vì MG = 3 cm, MN = 6 cm, do đó $MG=\frac{1}{2}MN$ hay G là trung điểm của MN.

Vì MI = 4,5 cm, MP = 9 cm, do đó $MI=\frac{1}{2}MP$ hay I là trung điểm của MP.

Trong tam giác MNP có G là trung điểm của MN, I là trung điểm của MP.

Do đó GI là đường trung bình của tam giác MNP.

Suy ra GI // NP (tính chất đường trung bình của tam giác).

Bài 12. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 3 cm, BC = 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính chu vi tứ giác BMNC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 3 cm.

Lại có $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.3=1,5$ (cm); $NC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.3=1,5$ (cm) (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC).

Trong tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.4=2$ (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Chu vi tứ giác BMNC là:

BM + MN + NC + BC = 1,5 + 2 + 1,5 + 4 = 9 (cm).

Vậy chu vi tứ giác BMNC là 9 cm.

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, AC, CD. Tứ giác BMNI là hình gì?

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, N là trung điểm AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra MN // DC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Do đó, MN // BI. Suy ra tứ giác BMNI là hình thang.

Trong tam giác ADC có M là trung điểm AD, I là trung điểm DC.

Do đó MI là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra $MI=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác). (1)

Trong tam giác ABC vuông tại B, có BN là trung tuyến nên $BN=\frac{1}{2}AC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MI = BN.

Vậy tứ giác BMNI là hình thang cân.

Bài 14. Cho tam giác ABC có CE là đường phân giác góc ACB (E ∈ AB). Biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm, AE = x cm, EB = y cm. Tính độ dài x và y.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có CE là đường phân giác góc C nên

$\frac{AC}{CB}=\frac{AE}{EB}$ hay $\frac{x}{y}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.Suy ra $x=\frac{3}{5}y$ .

Vì AE + EB = AB hay x + y = 8

Do đó $\frac{3}{5}y+y=8$, suy ra $\frac{8}{5}y=8$.

Vậy y = 5 và x = 8 – 5 = 3.

Bài 15. Cho tam giác ABC có chu vi là 18 cm, các đường phân giác BD, CE. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết $\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2};\frac{AE}{EB}=\frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

• BD là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$ hay $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$

Suy ra BC = 2AB. (1)

• CE là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}$ hay $\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$

Suy ra $AC=\frac{3}{4}BC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC=\frac{3}{2}AB$.

Chu vi tam giác ABC bằng:

$AB+AC+BC=AB+\frac{3}{2}AB+2AB=\frac{9}{2}AB=18$.

Suy ra AB = 4 cm.

Do đó BC = 2 . 4 = 8 (cm), (cm).

Vậy AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 6 cm.

Bài 16. Cho tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc EDF (I ∈ EF). Biết DE = 5 cm, EF = 9 cm, DF = 8 cm. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác DEI và DFI.

Hướng dẫn giải

Tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc D.

Do đó ta có: $\frac{DE}{DF}=\frac{EI}{IF}$ hay $\frac{EI}{IF}=\frac{5}{8}$ .

Tỉ số diện tích của tam giác DEI và DFI chính là tỉ số $\frac{EI}{IF}$ (vì hai tam giác này có chung đường cao hạ từ D đến EF).

Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEI và tam giác DFI là $\frac{5}{8}$.

Bài 17. Một người đứng đỉnh tháp Busan (điểm D) quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, C lần lượt là chân ba cột đèn sao cho A, B, C thẳng hàng (như hình dưới đây). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, B thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, C, tức là $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}.$. Hỏi tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng bao nhiêu? Biết khoảng cách giữa hai chân cột đèn A, B là 30 m và khoảng cách giữa hai chân cột đèn B, C là 25 m.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có: AB = 30 m, BC = 25m;

$\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$ suy ra DB là tia phân giác $\widehat{ADC}.$

Xét ∆ADC có DB là tia phân giác $\widehat{ADC}$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADC ta có:

$\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{30}{25}=\frac{6}{5}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C bằng $\frac{6}{5}$

Bài 18. Ba bạn Mai, Lan, Điệp hẹn gặp nhau tại nhà bạn Lan, biết rằng nhà bạn Mai ở vị trí A, nhà bạn Lan ở vị trí G và nhà bạn Điệp ở vị trí M (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của CD. Quãng đường bạn Điệp đi từ nhà tới nhà bạn Lan là 3 km. Hỏi bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là bao nhiêu kilômét để gặp Lan và Điệp?

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: GM = 3 km.

Vì ABCD là hình vuông nên CD = AD và DB là tia phân giác của góc ADC

Do M là trung điểm của DC nên $DM=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}DA$ (do CD = AD).

Suy ra $\frac{DM}{DA}=\frac{1}{2}$

Xét ∆ADM có: DG là tia phân giác của $\widehat{ADM}$ (do DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆ADM với DG là tia phân giác của $\widehat{ADM}$ ta có:

$\frac{DM}{DA}=\frac{GM}{GA}$ hay $\frac{1}{2}=\frac{3}{GA}$ nên GA = 2 . 3 = 6 (km).

Vậy bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là GA = 6 km để gặp Lan và Điệp.

Học tốt Toán 8 Chương 7

Các bài học để học tốt Chương 7 Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài tập cuối chương 7

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Hai tam giác đồng dạng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Hai hình đồng dạng

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---