Bài toán thực tế về lôgarit lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về lôgarit lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán thực tế về lôgarit.

Bài toán thực tế về lôgarit lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

*Phương pháp: Để giải các bài toán thực bài toán thực tiễn gắn với phép tính lôgarit, chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố quan trọng của bài toán.

Bước 2: Xác lập các quy luật, công thức mà chúng ta phải tuân theo.

Bước 3: Áp dụng tính chất của lôgarit để giải quyết bài toán.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

➢ Khái niệm lôgarit: Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực α để a^α = M được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là log_aM.

α = log_aM ⇔ a^α = M.

➢ Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:

✓ Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân: log₁₀M (M > 0) được viết là logM hoặc lgM.

✓ Lôgarit cơ số e của một số dương N gọi là lôgarit tự nhiên: log_eN (N > 0) được viết là lnN.

* Chú ý: Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên là trường hợp đặc biệt của lôgarit thông thường ở trên nên nó có đầy đủ tính chất, quy tắc tính của lôgarit thông thường.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = –log[H⁺] với [H⁺] là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 10^–4, nước dừa là 10^–5 (nồng độ tính bằng mol L^–1). Làm thế nào để tính được độ pH của cốc nước cam, nước dừa đó?

Hướng dẫn giải

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H⁺] = –log10^–4 = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là:pH = –log[H⁺] = –log10^–5 = –(–5) = 5.

Ví dụ 2. Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:

L(I) = 10log$\frac{I}{I_0},$

trong đó I₀ = 10^–12 W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^–7 W/m²;

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^–3 W/m².

Hướng dẫn giải

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^–7 W/m² là

$L_1=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{{10}^{-7}}{{10}^{-12}}=10\log {10}^5=10.5=50$ (dB).

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^–3 W/m² là

$L_2=10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-12}}=10\log {10}^9=10.9=90$ (dB).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là a = 15 500(5 – logp), trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal). Áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển là bao nhiêu?

A. 26 855,44 pascal;

B. 26 855,45 pascal;

C. 28 855,44 pascal;

D. 28 855,45 pascal.

Bài 2. Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau n năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau: A = 100.(1 + 0,06)ⁿ (triệu đồng).

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được không dưới 150 triệu đồng?

A. 5 năm;

B. 6 năm;

C. 7 năm;

D. 8 năm.

Bài 3. Tốc độ của gió S (dặm/giờ) gần tâm của một con lốc xoáy được tính bởi công thức S = 93logd + 65, trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được. Tính quãng đường cơn lốc xoáy đã di chuyển được, biết tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

A. 6,5 dặm;

B. 6,4 dặm;

C. 6,3 dặm;

D. 6,1 dặm.

Bài 4. Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = –log x, trong đó x là nồng độ ion H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A?

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Bài 5. Với nước biển có nồng độ muối 30%, nhiệt độ T (^oC) của nước biển được tính bởi công thức T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84, ở đó d (g/cm³) là khối lượng riêng của nước biển. Biết vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 8 °C. Tính khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục nghìn).

A. 1,0234 (g/cm³);

B. 1,0235 (g/cm³);

C. 1,0324 (g/cm³);

D. 1,0325 (g/cm³).

Bài 6. Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

A. 31 tháng;

B. 30 tháng;

C. 32 tháng;

D. 28 tháng.

Bài 7. Người ta nuôi cấy vi khuẩn Bacillus subtilis trong nồi lên men và thu được số liệu sau: Lúc ban đầu, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 2.10². Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 3,33.10⁹. Biết vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trưởng trong điều kiện tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi. Hỏi sau bao nhiêu phút, vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

A. 30;

B. 31;

C. 32;

D. 33.

Bài 8. Cường độ của một trận động đất, kí hiệu là M (độ Richter), được cho bởi công thức M = logA – logA₀, ở đó A là biên độ rung chấn tối đa đo được bằng địa chấn kế và A₀ là biên độ chuẩn (hằng số phụ thuộc vào từng khu vực).

Vào hồi 12 giờ 14 phút trưa ngày 27/07/2020, tại khu vực huyện Mộc Châu, Sơn La xảy ra trận động đất thứ nhất với cường độ 5,3 độ Richter. Trong vòng 20 tiếng đồng hồ, Sơn La đã xảy ra liên tiếp 7 trận động đất. Đến 8 giờ 26 phút sáng 28/07/2020, trận động đất thứ bảy xảy ra với cường độ 4 độ Richter.

Biết rằng biên độ chuẩn được dùng cho cả tỉnh Sơn La. Hỏi biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ nhất gấp khoảng mấy lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ bảy (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

A. 11;

B. 15;

C. 20;

D. 21.

Bài 9. Đồng vị phóng xạ Uranium – 235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kỳ bán rã là T = 703 800 000 năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium – 235 thì sau t năm, do bị phân rã, lượng Uranium – 235 còn lại được tính bởi công thức $M=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}$ (g). Sau thời gian bao lâu thì lượng Uranium – 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu?

A. 106 979 777 năm;

B. 106 979 776 năm;

C. 106 979 779 năm;

D. 106 979 780 năm.

Bài 10. Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ ${}_6{}^{14}C$ có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ $H=H_0{e}^{-\lambda .t}$(đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0); $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5 730 (năm). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

A. 1246 năm;

B. 1247 năm;

C. 1248 năm;

D. 1249 năm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Nhận dạng hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Tập xác định của hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

• Bài toán thực tế về hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Phương trình mũ

---