Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải

---

---

Với Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết phương pháp làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải

                           

1. Lý thuyết

- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0).

- Điều kiện có nghiệm: a² + b² ≥ c² .

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được:

* Đặt

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng 

 

 . Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng 

 

 . Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

Chú ý: Các công thức đặc biệt

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) sin4x + √3cos4x = √2

b) 5sin2x +12cos2x = 13 

c)  sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

Lời giải

a) sin4x + √3cos4x = √2   (1)

Đặt  

Khi đó (1)

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) 5sin2x +12cos2x = 13   (2)

Đặt

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

 

⇔ 1 - cos2x - 2sin2x + 2 = 0

⇔ cos2x + 2sin2x = 3 

Ta thấy: 1² + 2² < 3². Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 3sin3x - √3cos9x = 1 + 4sin³3x

b) cos3x - sin5x = √3(cos5x - sin3x)

Lời giải

a) 3sin3x - √3cos9x = 1 + 4sin³3x

⇔ 3sin3x - 4sin³3x - √3cos9x = 1

⇔ sin9x - √3cos9x = 1

 

   

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) cos3x - sin5x = √3(cos5x - sin3x)

⇔ cos3x - sin5x = √3cos5x - √3sin3x

⇔ cos3x + √3sin3x = √3cos5x + sin5x

 

   

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm

- Phương pháp giải: 

Điều kiện có nghiệm: a² + b² ≥ c² 

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3  có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: (m-1)² + 2² ≥ (m + 3)²

⇔ m² - 2m + 1 + 4 ≥ m² + 6m + 9

⇔ -8m ≥ 4   

⇔  

Vậy  thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1  có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: (m-1)² + m² ≥ (m + 1)²  

⇔ m² - 2m + 1 + m² ≥ m² + 2m + 1 

⇔ m² - 4m ≥ 0 

⇔ m (m - 4) ≥ 0 

   

Vậy m ≥ 4 hoặc m ≤ 0 thì phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

                           

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình √3sin2x - cos2x + 1 = 0 là:

Câu 2. Có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0, 2π) của phương trình cos4x – sin4x = 1?

A. 5                           B. 3                            C. 6                            D. 7

Câu 3. Họ nghiệm của phương trình: sin3x - √3cos3x = 2cos5x là:

Câu 4. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos²x - sin2x = √2 + sin²x trên khoảng (0, 2π) 

Câu 5. Họ nghiệm của phương trình: √3(sin2x + cos5x) = sin5x - cos2x là:

Câu 6. Các nghiệm của phương trình 1+ sin2x = cos 2x là:

Câu 7. Số nghiệm thuộc khoảng (0, π) của phương trình sinx(sinx + 2cosx) = 2 là

A. 0                           B. 1                            C. 2                           D. 3

Câu 8. Tổng các nghiệm thuộc khoảng (-π, π) của phương trình sinx + cosx = 2√2sinxcosxlà:

Câu 9. Họ nghiệm của phương trình: 4(sin⁴x + cos⁴x) + √3sin4x = 2 là:

Câu 10. Họ nghiệm của phương trình: là:

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm.

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình (m+1)sin²x – sin2x + cos2x = 0 có nghiệm?

A. 12                         B. 13                         C. 11                          D. 10

Câu 13. Phương trình 2sinxcosx + √3cos2x + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. -2 ≤ m < 2            B. -2 ≤ m ≤ 2              C. m ≤ 2                      D. -2 < m ≤ 2   

Câu 14. Tìm m để phương trình (2m-1)cos2x + 2msinxcosx = m – 1 vô nghiệm.

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = √3sin3x - cos3x + 2. Giá trị của M, m là:

A. M = 4; m = 0         B. M = 2; m = -2        C.          D. M = 3; m = 1

Bài 16. Giải phương trình sinx + $\sqrt{3}$cosx = 2.

Bài 17. Giải phương trình: 3sinx – 4cosx = 2.

Bài 18. Giải phương trình: sin2x + cos2x = $-\sqrt{2}$sin4x.

Bài 19. Giải các phương trình sau:

a) sin5x + cos5x = – 1;

b) 3sinx – 4cosx = 1;

c) 2cosx – sinx = 2.

Bài 20. Giải các phương trình sau:

a) sinx + cosx = $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

b) cos8x – sin6x = $\sqrt{3}$(sin8x + cos6x);

c) sin2x - $\sqrt{3}$cos2x = 2sinx.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	D	D	D	C	C	A	B	D	D	D	A	B	D	A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
• Phương pháp Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
• Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
• Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

---

---

---