Phương pháp Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

---

---

Với Phương pháp Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Phương pháp Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

                              

1. Lý thuyết

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R 

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx  

- Tập xác định: D = R \ {  + kπ, k ∈ Z}  

- Tập giá trị:R  

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: D = R \ { kπ, k ∈ Z} 

- Tập giá trị: R  

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

  xác định khi g(x) ≠ 0  

  xác định khi f(x) ≥ 0

  xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi u(x) ≠ + kπ, k ∈ Z

y = cot[u(x)] xác định khi u(x) ≠ kπ, k ∈ Z

sin x ≠ 0 khi x ≠ kπ (k ∈ Z)   

cos x ≠ 0 khi x ≠ + kπ (k ∈ Z)  

- Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau

Lời giải

a)  

Điều kiện xác định:  

Vậy tập xác định của hàm số là  

b) Điều kiện xác định: 2 - sin x ≥ 0  

⇔ sin x ≤ 2 (đúng ∀x ∈ R ) vì -1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R 

Vậy tập xác định của hàm số là D = R.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau 

Lời giải

a) Điều kiện xác định: sin x - cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ cos x (*)

+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin²x + cos²x = 1 ⇔ sin² x = 1 ⇔ sin x = ±1.

Hiển nhiên sin x ≠ cos x

+ Trường hợp 2: cos x ≠ 0. Chia cả hai vế cho cosx

Vậy tập xác định của hàm số là  

b) Vì

Điều kiện xác định:  

   

Vậy tập xác định của hàm số là  

Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 2sin3x – 5

b) y = 2sin²

c) y = |cos(3x-2)| + 4

Lời giải

a) Ta có:  

-1 ≤ sin 3x ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -2 ≤ 2sin 3x ≤ 2 ∀x ∈ R 

⇔ -7 ≤ 2sin 3x - 5 ≤ -3 ∀x ∈ R

Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].

b) Ta có:  

 

Vậy tập giá trị: T = [5;7].

c) Ta có: 0 ≤ |cos(3x - 2)| ≤ 1∀x ∈ R 

⇔ 4 ≤ |cos(3x - 2)| + 4 ≤ 5∀x ∈ R 

Vậy tập giá trị: T = [4;5].  

Ví dụ 2. Tìm tập giác trị của các hàm số sau:  

a)  

b) y = cos2x + 4sinx +1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: sinx +1 ≥ 0 ⇔ sinx ≥ -1∀x ∈ R.

Tập xác định D = R.

Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ 0 ≤ sinx + 1 ≤ 2 ∀x ∈ R  

Vậy tập giá trị: T = [-2,√2 - 2 ]

b) y = cos2x + 4sinx +1 = 1 - 2sin²x + 4sinx +1 = -2sin²x + 4sinx + 2 = -2(sinx – 1)² + 4.

Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R   

⇔ -2 ≤ sin x - 1 ≤ 0 ∀x ∈ R  

⇔ 0 ≤ (sin x - 1)² ≤ 4 ∀x ∈ R  

 ⇔ -8 ≤ -2(sin x - 1)² ≤ 0 ∀x ∈ R 

⇔ -4 ≤ -2(sin x - 1)² + 4 ≤ 4 ∀x ∈ R  .

Vậy tập giá trị: T = [-4;4].

Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R

- Phương pháp giải:

m ≥ f(x) ∀x ∈ [a,b] => m ≥

m > f(x) ∀x ∈ [a,b] => m >

m ≤ f(x) ∀x ∈ [a,b] => m ≤

m < f(x) ∀x ∈ [a,b] => m <  

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số  xác định trên R.

Lời giải

Để hàm số xác định trên R thì sin x + m ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ -sin x∀x ∈ R .

Mà ta có -1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R ⇔ -1 ≤ -sin x ≤ 1 ∀x ∈ R 

Nên m ≥ 1

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số  xác định trên R.

Lời giải

Ta có:  

Hàm số xác định trên R khi (sinx – 1)² + m - 1 ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ m  ≥ 1 - (sinx – 1)² ∀x ∈ R

Ta có:  

-1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R  

⇔ -2 ≤ sin x - 1 ≤ 0 ∀x ∈ R 

⇔ 0 ≤ (sinx – 1)² ≤ 4 ∀x ∈ R

⇔ -4 ≤ -(sinx – 1)² ≤ 0 ∀x ∈ R 

⇔ -3 ≤ 1 - (sinx – 1)² ≤ 1 ∀x ∈ R

Vậy m ≥ 1

                             

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tập xác định của hàm số  là

Câu 2. Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là

Câu 3. Tập xác định của hàm số  là:

A. D = [ -1,+∞)                                          B. D = R

C. D = R \                             D. D = (-∞, -1]

Câu 4. Tập xác định của hàm số  là:

Câu 5. Tập xác định của hàm số  là

Câu 6. Tập xác định của hàm số  là

Câu 7. Tập xác định của hàm số  là

Câu 8. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là R?

Câu 9. Tập giá trị của hàm số y = 1 – 2|sin2x| là

A. [1;3]                      B. [-1;1]                     C. [-1;3]                    D. [-1;0]

Câu 10. Tập giá trị của hàm số  là

A. [2;3]                      B. [1;2]                      C. [2;4]                      D. [3;4]

Câu 11. Tập giá trị của hàm số y = 2 + sinxcosx có dạng T = [m,M]. Giá trị của m là: 

Câu 12. Tập giá trị của hàm số y = 2sin3x +1 là

A. [-1;1]                    B. [-5;7]                     C. [0;2]                      D. [-1;3]

Câu 13. Tìm m để hàm số  xác định trên R.

A. m ∈ (-∞; -1) ∪ (1, +∞)                            B. m ∈ (-∞; -1] ∪ [1, +∞)  

C. m ≠ 1                                                     D. m ∈ [-1;1] 

Câu 14. Hàm số  có tập xác định R khi và chỉ khi:

A. m > 3                    B. m < -1                   C. m ≥ 3                     D. m ≤ -1

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  có tập xác định là R.

A.              B.                C. Không có m thỏa mãn          D. m ≥ 5 

Bài 16. Tìm tập giá trị của hàm số y = sinx + cosx.

Bài 17. Tìm tập giá trị của hàm số: y = $\frac{\sin x}{\cos \left(x-\pi \right)}$.

Bài 18. Tìm tập giá trị của hàm số: y = $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$

Bài 19. Tìm tập giá trị của hàm số: y = $\sin \left(\frac{2x}{x-1}\right)$.

Bài 20. Tìm tập giá trị của hàm số: y = $\sqrt{\cos x}$.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	D	B	C	B	C	A	D	B	D	B	D	A	A	B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
• Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
• Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải

---

---

---