Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải

---

---

Với Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết phương pháp làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải

                    

1. Lý thuyết

Một số dạng phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác 

a. sin²x + b.sinx + c = 0 (a ≠ 0) 

a. cos²x + b.cosx + c = 0 (a ≠ 0) 

a. tan²x + b.tanx + c = 0 (a ≠ 0) 

a. cot²x + b.cotx + c = 0 (a ≠ 0) 

2. Phương pháp giải:

Phương trình dạng	Điều kiện xác định	Cách làm	Điều kiện ẩn phụ (ẩn t)
f(sinx)		Đặt t = sinx	-1 ≤ t ≤ 1
f(cosx)		Đặt t = cosx	-1 ≤ t ≤ 1
f(tanx)		Đặt t = tanx
f(cotx)	x ≠ kπ; k ∈ Z	Đặt t = cotx

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình: 

a) 2sin²x – 5sinx + 2 = 0

b) 5cos²x – 6cosx + 1 = 0

c) tan²x + 2tanx – 3 = 0

Lời giải

a) Đặt t = sinx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: 2t² – 5t + 2 = 0 

⇔ 2t² - 4t - t + 2 = 0 ⇔ (2t - 1)(t - 2) = 0

   

Khi đó  

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) Đặt t = cosx với -1 ≤ t ≤ 1   

Ta được phương trình: 5t² – 6t + 1 = 0

⇔ 5t² – 5t - t + 1 = 0 ⇔ (5t - 1)(t - 1) = 0

Khi đó  

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c) Điều kiện xác định:

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: t² + 2t – 3 = 0

⇔ t² + 3t - t – 3 = 0 

⇔ (t + 3)(t - 1) = 0

 

Khi đó  (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

b) cos2x – 4sinx = 3

c)  

Lời giải

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

⇔ 1 - cos²x + 2cosx + 2 = 0  

⇔ - cos²x + 2cosx + 3 = 0 

Đặt t = cosx với -1 ≤ t ≤ 1 

Ta được phương trình: - t² + 2t + 3 = 0

⇔ - (t + 1)(t - 3) = 0

Khi đó cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) 

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = π + k2π (k ∈ Z)

b) cos2x – 4sinx = 3

⇔ 1 - sin²x - 4sinx - 3 = 0  

⇔ - 2sin²x - 4sinx - 2 = 0 

Đặt t = sinx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: -2t² – 4t – 2 = 0

⇔ -2(t + 1)² = 0 

⇔ t = -1 (Thỏa mãn)

Khi đó: sinx = -1 ⇔  

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c)  

 

⇔ 2cos²x - cosx + 1 = 0 

Đặt t = cosx với -1 ≤ t ≤ 1  

Ta được phương trình: 2t² – t + 1 = 0 (*)

Ta có: Δ = (-1)² - 4.2.1 = -7 < 0. Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) tanx + 5cotx = 6

b)  

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

Ta có: tanx + 5cotx = 6

Đặt t = tanx. Ta được phương trình:  (Điều kiện: t ≠ 0 )

⇔ t² + 5 = 6t

⇔ t² - 6t + 5 = 0

 

Khi đó  

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) Điều kiện xác định: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ; k ∈ Z 

Vì nên

Thay vào phương trình ta có: 

Ta được phương trình: 3t² + t – 2 = 0

Khi đó    

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

                            

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos²x + 3sinx – 3 = 0 thỏa mãn điều kiện  là:

Câu 2. Các họ nghiệm của phương trình cos2x – sinx = 0 là:

Câu 3. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin²x + 5sinx – 3 = 0 là:

Câu 4. Nghiệm của phương trình 2cos2x + 2cosx - √2 = 0  là

Câu 5. Trong [0,2π) , phương trình sinx = 1 – cos²x có tập nghiệm là:

Câu 6. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình cos4x + 3sin2x + 1 = 0 thuộc khoảng (0,2π) ?

A. 1                           B. 2                           C. 3                           D. 4

Câu 7. Phương trình  có các nghiệm là:

A. x = kπ, k∈ Z           B. x = k3π, k∈ Z        C. x = k2π, k∈ Z        D. x = k6π, k∈ Z  

Câu 8. Họ nghiệm của phương trình 3cos4x + 2cos2x – 5 = 0 là: 

A. k2π, k∈ Z              B.  + k2π, k∈ Z        C. kπ, k∈ Z                D. - + k2π, k∈ Z

Câu 9. Phương trình tan²x + 5tanx – 6 = 0 có các nghiệm là:

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình 3tan2x + 2cot2x - 5 = 0 là

Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 trong khoảng  là :

A. 2                           B. 1                            C. 4                            D. 3 

Câu 12. Phương trình cos2x + sin²x + 2cosx + 1 = 0 có nghiệm là:

Câu 13. Các nghiệm của phương trình √3tanx + cotx - √3 - 1 = 0 là:

Câu 14. Số nghiệm của phương trình  là:

A. 2                           B. 0                           C. 1                           D. 3

Câu 15. Họ nghiệm của phương trình cos²x + sinx + 1 = 0 là:

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	C	D	A	C	D	D	C	A	D	D	D	D	B	A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải
• Phương pháp Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác
• Phương pháp Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
• Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
• Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

---

---

---