Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

---

---

Với Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

Phương pháp tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

                             

1. Lý thuyết

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D ⊂ R  .

-  Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu  

- Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu

b) Tính bị chặn của hàm số lượng giác:

-1 ≤ sin x ≤ 1∀x ∈ R

-1 ≤ cos x ≤ 1∀x ∈ R  

2. Các dạng bài tập  

Dạng 1. Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

Phương pháp giải: 

-1 ≤ sin [u(x)] ≤ 1; 0 ≤ sin²[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ |sin[u(x)]| ≤ 1

-1 ≤ cos [u(x)] ≤ 1; 0 ≤ cos²[u(x)] ≤ 1; 0 ≤ |cos[u(x)]| ≤ 1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = sin2x + 3

b) y = 4sin2xcos2x +1

c) y = 5 – 3cos²3x

Lời giải

a) Ta có: -1 ≤ sin 2x ≤ 1 ∀x ∈ R  

⇔ 2 ≤ sin 2x + 3 ≤ 4 ∀x ∈ R

Vậy hàm số y = sin2x + 3 có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 2.

b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + 1

Ta có: -1 ≤ sin 4x ≤ 1 ∀x ∈ R  

⇔ -2 ≤ 2sin 4x ≤ 2 ∀x ∈ R

⇔ -1 ≤ 2sin 4x + 1 ≤ 3 ∀x ∈ R 

Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

c) Ta có: 0 ≤ cos²3x ≤ 1 ∀x ∈ R  

⇔ 0 ≤ 3cos²3x ≤ 3 ∀x ∈ R

⇔ -3 ≤ -3cos²3x ≤ 0 ∀x ∈ R 

⇔ 2 ≤ 5 - 3cos²3x ≤ 5 ∀x ∈ R 

Vậy hàm số y = 5 – 3cos²3x có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y =  

b) y = cos2x + 4sinx - 5

c) y = 4|cos(3x-1)| + 1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: 2 - sin2x ≥ 0 ⇔ sin 2x ≤ 2 (Luôn đúng với mọi x)

Tập xác định D = R.

Ta có: -1 ≤ sin 2x ≤ 1 ∀x ∈ R 

⇔ -1 ≤ -sin 2x ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ 1 ≤ 2 - sin 2x ≤ 3 ∀x ∈ R 

⇔ 1 ≤≤ √3∀x ∈ R

Vậy hàm số y =  có giá trị lớn nhất là √3 và giá trị nhỏ nhất là 1.

b) y = cos2x + 4sinx – 5 

= 1 – 2sin²x + 4sinx – 5 

= -2sin²x + 4sinx – 4 

= -2(sin²x – 2sinx + 1) – 2 

= -2(sinx – 1)² – 2 

Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1 ∀x ∈ R

⇔ -2 ≤ sinx - 1 ≤ 0 ∀x ∈ R  

⇔ 0 ≤ (sinx - 1)² ≤ 4 ∀x ∈ R  

⇔ -8 ≤ -2(sinx - 1)² ≤ 0 ∀x ∈ R

⇔ -10 ≤ -2(sinx - 1)² - 2 ≤ -2 ∀x ∈ R  

Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – 5 có giá trị lớn nhất là -2 và giá trị nhỏ nhất là -10.

c) Ta có: 0 ≤ |cos(3x-1)| ≤ 1 ∀x ∈ R  

⇔ 0 ≤ 4|cos(3x-1)| ≤ 4 ∀x ∈ R

⇔ 1 ≤ 4|cos(3x-1)| + 1≤ 5 ∀x ∈ R 

Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Dạng 2. Hàm số có dạng  y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c =  

với α thỏa mãn    

Bước 2: Đánh giá -1 ≤ sin (x + α) ≤ 1 ∀x ∈ R

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y = sin2x - √3cos2x + 1 

b) y = 3sinx + 4cosx + 6

Lời giải

Vậy hàm số y = sin2x - √3cos2x + 1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

b) y = 3sinx + 4cosx + 6 =  

Đặt

Ta được: y = 5(sinxcosα + cosxsinα) + 6 = 5(sinx + α) + 6

Ta có: -1 ≤ sin (x + α) ≤ 1 ∀x ∈ R  

⇔ -5 ≤ 5sin (x + α) ≤ 5 ∀x ∈ R 

⇔ 1 ≤ 5sin (x + α) + 6 ≤ 11 ∀x ∈ R 

Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số √3sin2x + sin²x - cos²x + 1

Lời giải

 y = √3sin2x + sin²x - cos²x + 1 

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

Dạng 3: Hàm số có dạng  

Lý thuyết: Phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi a² + b² ≥ c² (Lý thuyết có trong phần 7)

Phương pháp giải: 

Bước 1: Điều kiện xác định: a₂sinx + b₂cosx = c₂ ≠ 0

Bước 2: ⇔ ya₂sinx + yb₂cosx + yc₂ = a₁sinx + b₁cosx + c₁

⇔ (ya₂ - a₁)sinx + (yb₂ - b₁)cosx = -yc + c₁ (*)

Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x thì (ya₂ - a₁)² + (yb₂ - b₁)² ≥ (-yc + c₁)² 

Tìm đoạn chứa y, sau đó đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa:  

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  

Lời giải

Điều kiện xác định: sinx + cosx + 2 ≠ 0  

Ta có: sinx + cosx + 2 =     .

Do đó sinx + cosx + 2 ≠ 0 ∀x∈ R

Tập xác định: D = R.

Ta có  

⇔ ysinx + ycosx + 2y = sinx + 2cosx + 1

⇔ (y - 1)sinx + (y - 2)cosx = 1 - 2y (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì (y - 1)² + (y - 2)² ≥ (1 - 2y)²

⇔ y² - 2y + 1 + y² - 4y + 4 ≥ 1 - 4y + 4y²

⇔ 2y² + 2y - 4 ≤ 0

⇔ 2(y - 1)(y + 2) ≤ 0 

   

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  

Lời giải

Điều kiện xác định: sinx – cosx + 3 ≠ 0 

Ta có: sinx – cosx + 3 =     .

Do đó sinx – cosx + 3 ≠ 0 ∀x ∈ R

Tập xác định: D = R.

Ta có:  

⇔ ysinx - ycosx + 3y = 2sinx - 2cosx 

⇔ (y - 2)sinx - (y + 2)cosx = - 3y (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì (y - 2)² + (y + 2)² ≥ (-3y)² 

⇔ y² - 4y + 4 + y² + 4y + 4 ≥ 9y²

⇔ 7y² ≤ 8      

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là và giá trị nhỏ nhất là - .

                           

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  y=2sin5x – 1

A. min y = -3, max y = 3                              B. min y = -1, max y = 1

C. min y = -1, max y=3                               D. min y = -3, max y = 1

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + cos 

A. min y = -2, max y = 4                              B. min y = 2, max y = 4

C. min y = -2, max y = 3                              D. min y = -1, max y = 4

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. max y = 1, min y = 0                               B. max y = 2, min y = 0 

C. max y = 1, min y = -1                              D. max y = 2,  min y = 1

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  

A. min y = 2, max y = 5                               B. min y = 1, max y = 4

C. min y = 1,max y = 5                                D. min y = 1, max y = 3

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  

A. max y = √5, min y = 1                            B. max y = √5 , min y = 2√5     

C. max y = √5, min y = 2                            D. max y = √5 , min y = 3

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. min y = 3 + 2√2 , max y = 3 + 2√3               B. min y = 2 + 2√2 , max y = 3 + 2√3

C. min y = 3 - 2√2 , max y = 3 + 2√3                D. min y = 3 + 2√2 , max y = 3 + 3√3

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos²3x 

A. min y = 1, max y = 2                               B. min y = 1, max y = 3

C. min y = 2, max y = 3                               D. min y = -1, max y = 3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x – 4sinx + 5

A. max y = 9, min y = 2                               B. max y = 10, min y = 2 

C. max y = 6, min y = 1                               D. max y = 5, min y = 1

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2

A. max y = 3, min y = -7                              B. max y = -1, min y = -5 

C. max y = 4, min y = -1                              D. max y = 3,  min y = -5 

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1

A. max y = 6, min y = -2                              B. max y = 4, min y = -4

C. max y = 6, min y = -4                              D. max y = 6, min y = -1

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √3 cosx + sinx + 4

A. min y = 2, max y = 4                               B. min y = 2, max y = 6

C. min y = 4, max y = 6                               D. min y = 2, max y = 8

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  y = 4sin 6x + 3cos 6x

A. min y = -5, max y = 5                              B. min y = -4, max y = 4

C. min y = -3, max y = 5                              D. min y = -6, max y = 6

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin²x + 3sin2x – 4cos²x

A. min y = -3√2 - 1, max y = 3√2 + 1             B. min y = -3√2 - 1, max y = 3√2 - 1 

C. min y = -3√2, max y = 3√2 - 1                   D. min y = -3√2 - 2, max y = 3√2 - 1 

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số  là

A. 1                           B. √2                         C. D. 2

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số . Giá trị của M+m là:

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	A	D	C	A	A	B	B	D	C	B	A	B	A	B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải
• Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải
• Phương pháp Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác

---

---

---