Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m.

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)² (1)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1. 4= 4.

Vế phải = 1.(1+ 1)² = 4.

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)² (2)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)²

+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)² nên

1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)²+(k+1)(3k+4)

= k( k²+2k+ 1)+ 3k² + 4k+ 3k+ 4

= k³ + 2k² + k+3k² + 7k+ 4 = k³ + 5k² + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)²

Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1:

Vế trái

Vế phải

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

* Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n = 9ⁿ − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có u₁ = 9¹ − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng).

+ Giả sử u_k = 9^k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*

Ta cần chứng minh: u_{k + 1} = 9^k + 1 − 1 chia hết cho 8.

* Thật vậy, ta có u_k+1=9^k+1 − 1 = 9.9^k − 1 = 9(9^k − 1) + 8 = 9u_k + 8.

Vì 9u_k và 8 đều chia hết cho 8

=> u_{k+ 1} = 9^k + 8 ⋮ 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 8.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 (*)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 2 ta có : 2^{2 + 1} = 8 và 2.2+ 3= 7

=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2

+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2^{k+ 1} > 2k + 3 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2^k+2 > 2(k+1)+3

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2^k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2^k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3

Vậy 2^k+2 > 2(k+1)+3 (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1)

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy 1²+3²+5²+⋅⋅⋅+(2k − 1)²+(2k+1)² = + (2k+1)² (thế (2) vào).

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2ⁿ > n² (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 5 ta có: 2⁵ > 5² ( vì 32 > 25) (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 5.

* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2^k > k² (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2^k+1 > (k+1)²

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2. 2^k > 2.k² ⇔ 2^k+1 > k² + k²

⇔ 2^k+1 > k² + 2k + 1= (k+1)² (vì k² > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) .

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5.

Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1)

Suy ra (1) đúng với n= 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)= (2)

*Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)=

Thật vậy:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n²(n+1) (1)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k²(k+1) (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)²(k+2)

Thật vậy:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k²(k+1) + (k + 1)(3k + 2)

= (k + 1)(k² + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)²(k+2) (đpcm).

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n³ − n chia hết cho 3

Hướng dẫn giải:

Đặt u_n = n³ − n

* Ta có u₁ = 1³ − 1 = 0 chia hết cho 3

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = k³ − k chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh u_k+1 = (k + 1)³ − (k + 1) chia hết cho 3.

* Thật vậy, u_k+1 = k³+ 3k² + 3k + 1 − k − 1 = k³ + 3k² + 2k

⇔ u_{k + 1} = (k³ − k) + (3k² + 3k) = u_k +3(k² + k)

Vì u_k và 3(k² + k) đều chia hết cho 3, nên u_k+1 cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.

Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n³ − 3n² + n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt u_n = 2n³ − 3n² + n

*Ta có: u₁ = 2. 1³ − 3 . 1² + 1 = 0 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = 2k³ − 3k²+ k chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh: u_{k + 1} = 2.(k+1)³ − 3.(k+1)² + k+1 chia hết cho 6.

* Thật vậy ta có: u_k+1 = 2.k³+ 6k² + 6k + 2 − 3k² − 6k − 3 + k + 1

⇔ u_{k + 1} = 2k³ + 3k² + k = 2k³ − 3k² + k + 6k² = u_k + 6k²

Vì u_k và 6k² đều chia hết cho 6, nên u_{k + 1} cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 6.

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13ⁿ − 1 chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt u_n = 13ⁿ − 1

* Với n = 1, ta có u₁ = 13¹ − 1 = 12 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = 13^k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).

Ta cần chứng minh: u_k+1= 13^k+1 − 1 ⋮ 6 .

* Thật vậy ta có: u_k+1 = 13 . 13^k − 1 = 13(13^k − 1) + 12 = 13.u_k + 12

Vì 13u_k và 12 đều chia hết cho 6, nên u_{k + 1} cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 6.

Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3ⁿ > n² + 4n + 5 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 3 ta có 3³ > 3² + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 3.

* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3^k > k² + 4k + 5 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

3^{k + 1} > (k+1)² + 4(k+1) + 5

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3^k > 3.k² + 12k + 15

⇔ 3^{k + 1} > (k² + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k² + 6k + 5) (2)

Vì (2k² + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 3^k+1 > (k² + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5

Hay 3^k+1 > (k+1)² + 4(k+1) + 5

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) = (1)

Lời giải:

*Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1.2.3= 6, vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) = (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 2: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:

Lời giải:

*Với n = 2:

Vế trái của , vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 2.

* Giả sử (1) đúng với n= k.

Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy ta có:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

Câu 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Lời giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1)= 2√1 = 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n = k; k ≥ 1

Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

*Thật vậy:

Vì:

⇔ 2√(k(k+1) ) + 1 < 2(k+1)

⇔ 2√(k² + k) < 2k+1 ⇔ 4(k² + k) < (2k + 1)²

⇔ 4k² + 4k < 4k² + 4k + 1 ( luôn đúng ) do đó (3) luôn đúng với mọi số nguyên dương k.

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Lời giải:

*Với n = 1: Vế trái của , vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 1.

*Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Lời giải:

* Với n = 1: Vế trái của , vế phải của .

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với k; k ∈ N* . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1. Ta phải chứng minh:

* Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

+ Với n = 1 ta có 1³ + 11 . 1 = 12 chia hết cho 6 đúng.

+Giả sử với n = k (k ∈ N*) thì k³ + 11k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh với n = k + 1 thì (k+1)³ + 11( k+1) chia hết cho 6.

+ Thật vậy ta có:

(k+1)³ + 11(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1+ 11k + 11 = (k³ + 11k) + 3k(k + 1)+ 12 (*)

+ Do k³ + 11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k + 1)⋮ nên 3k(k+1) ⋮ 6

và 12 ⋮ 6

=> (k³ + 11k) + 3k(k + 1) + 12 ⋮ 6

Từ đó suy ra (k + 1)³ + 11(k + 1) ⋮ 6 (đpcm).

Câu 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

Lời giải:

* Đặt u_n = n³ + 3n² + 5n

* Ta có u₁ = 1³ + 3.1² + 5 . 1 = 9 ⋮ 3.

=> đúng với n = 1

* Giả sử u_k = k³ + 3k² + 5k ⋮ 3.

Ta cần chứng minh u_k+1 = (k+1)³ + 3.(k+1)² + 5(k + 1) ⋮ 3

* Thật vậy, u_{k + 1} = k³ + 3k² +3k + 1 + 3k² + 6k + 3+ 5k + 5

⇔ u_k+1 = (k³ + 3k² + 5k) + (3k² + 9k + 9) = u_k + 3(k² + 3k + 3)

Vì u_k ⋮ 3 và 3( k² + 3k + 3) ⋮ 3 nên u_k+1 ⋮ 3

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 3.

Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4ⁿ + 15n − 1 chia hết cho 9

Lời giải:

*Đặt u_n = 4ⁿ + 15n − 1

*Với n = 1, ta có u₁ = 4¹ + 15 . 1 − 1 = 18 chia hết cho 9

=>đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = 4^k +15k − 1 chia hết cho 9.

Ta cần chứng minh u_{k + 1} = 4^{k + 1} + 15(k + 1) − 1 chia hết cho 9.

*Thật vậy ta có: u_k+1 = 4.4^k + 15k+ 14 = 4( 4^k + 15k − 1) − 45k + 18 = 4.u_k + 9(2 − 5k)

Vì 4u_k và 9(2 − 5k) đều chia hết cho 9, nên u_k+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 9.

Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4ⁿ + 6n + 8 chia hết cho 9

Lời giải:

* Đặt u_n = 4ⁿ + 6n+ 8

* Với n = 1, ta có u₁ = 4¹ + 6 . 1 + 8 = 18 chia hết cho 9

=> đúng với n = 1.

* Giả sử u_k = 4^k + 6k + 8 chia hết cho 9.

Ta cần chứng minh u_{k + 1} = 4^{k + 1} + 6(k+ 1)+ 8 chia hết cho 9.

Thật vậy ta có u_k+1 = 4. 4^k + 6k + 14 = 4. (4^k + 6k + 8) − 18k + 18 = 4.u_k + 18(1 − k)

Vì 4u_k và 18(1 − k) đều chia hết cho 9, nên u_k+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u_n chia hết cho 9

Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.2^{2n − 2} + 3^{2n − 1} chia hết cho 5?

Lời giải:

* Đặt u_n = 7. 2^{2n − 2} +3^{2n − 1}

* Với n = 1, ta có u₁ = 7. 2^{2 . 1 − 2} + 3^{2 . 1 − 1} = 10 chia hết cho 5

=>đúng với n= 1.

* Giả sử u_k = 7. 2^{2k − 2} +3^{2k − 1} chia hết cho 5.

Ta cần chứng minh u_k+1 = 7.2^2k + 3^{2k + 1} chia hết cho 5.

Thật vậy ta có u_k+1 = 4.(7.2^2k−2 + 3^{2k − 1}) − 4. 3^{2k − 1} + 3^2k+1 = 4u_k + 5.3^2k−1

Vì 4.u_k và 5.3^2k−1 đều chia hết cho 5, nên u_k+1 cũng chia hết cho 5.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5.

Câu 10: Chứng minh với mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3^{n − 1} > n(n+ 2) (1)

Lời giải:

* Với n = 4, VT = 3^{4 − 1} = 27 và VP = 4.(4 + 2)= 24

=> 27 > 24 nên (1) đúng với n = 4

* Giả sử với k ≥ 4;k ∈ N ta có : 3^k−1 > k(k+2).

Ta cần chứng minh : 3^k > (k + 1)(k + 3)

Thật vậy, ta có : 3^k = 3.3^k−1 > 3k.(k+ 2).

Lại có :

3k(k+ 2) > (k+1)(k+ 3) ⇔ 2k² +2k − 4 > 0 bất đẳng thức này đúng với mọi k ≥ k.

Suy ra 3^k > (k + 1)(k+3) (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 4.

Câu 11: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có :

Lời giải:

* Đặt

* Với n= 2 ta có

=> đúng với n= 2.

*Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì (*) đúng, có nghĩa ta có:

*Ta phải chứng minh (*) đúng với n=k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

*Thật vậy ta có:

*Vậy u_k+1 > u_k > (đúng). Vậy (*) đúng với n = k + 1.

*Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2.

Câu 12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: nⁿ ≥ (n+1)^{n − 1} ( 1)

Lời giải:

* Với n = 1 ta có 1¹ ≥ (1+1)⁰ hay 1 ≥ 1 (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử với n = k ; k ∈ N* thì (1) đúng, có nghĩa ta có: k^k ≥ (k+1)^{k − 1} (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

(k+1)^k+1 ≥ (k+2)^k

Thật vậy, nhân hai vế của (2) với (k+1)^k+1 ta được:

Vậy (*) đúng với n = k + 1. Do đó (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm số hạng thứ n của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách tìm công thức của số hạng tổng quát (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

---