Cách xét tính đơn điệu của dãy số (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách xét tính đơn điệu của dãy số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét tính đơn điệu của dãy số.

Cách xét tính đơn điệu của dãy số (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

* Định nghĩa:

+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u_n < u_{n + 1}

+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: u_n > u_n+1

* Để xét tính tăng (giảm) của dãy số ta có 2 cách sau:

+ cách 1: Xét hiệu: u_n+1 − u_n

Nếu u_n+1 − u_n > 0 thì dãy số tăng.

Nếu u_n+1 − u_n < 0 thì dãy số giảm

+ Cách 2. Nếu các số hạng của dãy u_n > 0 với mọi n: Xét thương

Nếu T > 1 thì dãy số tăng.

Nếu T < 1 thì dãy số giảm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = a . 10ⁿ ( với a hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số có u_n+1 = a . 10ⁿ⁺¹.    B. Hiệu số u_n+1 − u_u = 10a.

C. Với a > 0 thì dãy số tăng    D. Với a < 0 thì dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

+Ta có: u_n+1 = a . 10^{n + 1}

+ Xét hiệu: u_n+1 − u_n = a . 10ⁿ⁺¹ − a . 10ⁿ = a . 10ⁿ (10 − 1) = 9a . 10ⁿ.

+ Nếu a > 0 thì u_{n + 1} − u_n > 0 nên dãy số tăng.

Và nếu a < 0 thì u_{n + 1} − u_n < 0 nên dãy số giảm.

=> B sai

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) với (a là hằng số) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

+ Xét hiệu:

Nếu a > 0 thì u_{n + 1} − u_n < 0 => Dãy số giảm

Nếu a < 0 thì u_n+1 − u_n > 0 => dãy số tăng

Do chưa biết dấu của a nên ta chưa thể kết luận tính tăng; giảm của dãy số.

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) với (k là hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Số hạng thứ 4 của dãy số là

+ Số hạng thứ n + 1 của dãy số là

+ Xét hiệu:

=> Nếu k > 0 thì T < 0 nên dãy số giảm

Nếu k < 0 thì T > 0 nên dãy số tăng

=> B sai.

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) với . Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Số hạng thứ 9 của dãy số là:

+ Số hạng thứ 10 của dãy số là:

+ Số hạng thứ 5 của dãy số là:

+ Dãy u_n là một dãy đan dấu nên đây là dãy số không tăng; không giảm

=> C sai.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) có u_n = −n² + n + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 số hạng đầu của dãy là −1; 1; −5; −11; −19.

B. Số hạng thứ n+1 là: u_n+1 = − n² + n + 2.

C. Số hạng thứ 10 của dãy số là : u₁₀ = 89

D. Là một dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

Ta xét các phương án:

+ 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: 1; −1; −5; −11; −19

+ Số hạng thứ n+ 1 của dãy số là u_{n + 1} = −(n+1)² + (n+1) + 1 = −n2 − n + 1

+ Số hạng thứ 10 của dãy số là : u₁₀ = −89

+ Xét hiệu T = u_n+1 − u_n = (−n² − n + 1) − (−n² + n + 1)= −2n < 0 với ∀n ≥ 1

Do đó (u_n) là một dãy giảm.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) với . Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

+ Xét hiệu

=> u_n+1 > u_n và dãy số đã cho là dãy số tăng.

=> B sai.

Chọn B.

Ví dụ 7: Xét tính tăng; giảm của dãy số (u_n) biết

A. Dãy số giảm     B. Dãy số tăng

C. Dãy số không tăng; không giảm    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Số hạng thứ n+1 là

+ Xét hiệu: ∀n ∈ N*

=> Dãy số (u_n) là dãy số giảm.

Chọn A.

Ví dụ 8: Chọn mệnh đề sai. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = (−1)ⁿ . (2ⁿ + 1). Tìm mệnh đề sai.

A. u₁ = −3

B. u₂ = 5

C. Dãy số giảm

D. Dãy số không tăng; không giảm

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₁ = −3; u₂ = 5; u₃ = −9

Từ đó suy ra dãy số (u_n) là dãy số không tăng; không giảm.

=> C sai.

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tìm mệnh đề sai?

Lời giải:

Đáp án: C

+ Do n ∈ N* nên u_n > 0 với mọi n .

Xét tỉ số:

=> u_n < u_{n + 1}

=> Dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

=> C sai

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi u_n> = 2n − √(4n² − 1). Tìm mệnh đề sai?

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có:

=> u_n > 0 với mọi n ∈ N*.

+ Lại có: u_n+1 = 2n+2 − √(4(n+1)² − 1)

+ Xét hiệu:

∀n ∈ N*

Vì:

Vậy: dãy số (u_n) giảm.

=> B sai

Câu 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm

C. Số hạng thứ 2 là u₂ = √7.

D. u_n > 1 với mọi n.

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có: u₂ = √(2u₁ + 3) = √7 > u₁

+ Ta dự đoán u_n+1 > u_n (*) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.

Ta có (*) đúng với n = 1

Giả sử ta có: u_k > u_{k − 1} với k ≥ 2. Khi đó ta có:

u_k+1 = √(2u_k + 3) > √(2u_k−1 + 3) = u_k (do u_k > u_{k − 1} )

Suy ra (*) đúng với mọi n ∈ N*.

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

=> B sai.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Chọn mệnh đề sai.

A. Số hạng thứ hai u₂ = 1.

B. Dãy số (u_n) giảm.

C. Dãy số (u_n) tăng.

D. Các số hạng của dãy luôn dương.

Lời giải:

Đáp án: C

* Từ hệ thức truy hồi đã cho ; ta chứng minh u_n > 0 với mọi n.

Thật vậy ; u₁ = 3 > 0

=> đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k và k ∈ N*; tức là u_k > 0

Ta chứng minh u_k+1 > 0 .

Thật vậy; mà u_k > 0 nên u_{k + 1} > 0.

*Ta có:

Ta dự đoán u_{n + 1} < u_n (**) với mọi n ∈ N*.

Ta có (**) đúng khi n = 1. Giả sử có u_k < u_k-1

Khi đó

Vì u_k < u_k−1 nên

Suy ra (**) đúng với mọi n.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

=> C sai .

Câu 5: Cho a dãy số (u_n) xác định bởi : u_n = 2n³ − 5n + 1. Tìm mệnh đề đúng

A. Dãy số tăng.

B.Dãy số giảm.

C.Số hạng thứ n+1 là u_{n + 1} = 2(n+1)³ − 5n + 1

D. Dãy số không tăng không giảm.

Lời giải:

Đáp án: A

Dãy số (u_n) với u_n = 2n³ − 5n + 1

Với mỗi n, ta có: u_n+1 − u_n = [2.(n+1)³ − 5(n+1)+ 1] − (2n³ − 5n+1)

= 2n3 + 6n2 + 6n+ 2- 5n – 5+ 1 – 2n3 + 5n – 1

= 6n2 + 6n – 3= 6n2 + 3n+ (3n- 3)> 0 đúng do n≥1

Vì thế dãy số (un) là một dãy số tăng.

=> A đúng.

Chọn A.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = 3ⁿ − n và dãy số (v_n) xác định bởi . Tìm mệnh đề đúng ?

A. Dãy số (u_n) và (v_n) là hai số tăng.

B. Dãy số (u_n) và (v_n) là hai dãy số giảm.

C.Dãy số (u_n) tăng và dãy số (v_n) là giảm

D.Dãy số (u_n) giảm và dãy số (v_n) là tăng.

Lời giải:

Đáp án: C

* Xét dãy số (u_n) với u_n = 3ⁿ − n.

Với mỗi n ∈ N*, ta có: u_n+1 − u_n = [ 3ⁿ⁺¹ − (n + 1)] − (3ⁿ − n)

= 3 . 3ⁿ − n − 1 − 3ⁿ + n= 2 . 3ⁿ − 1 > 0 vì n ∈ N*

=> Dãy số (u_n) là dãy số tăng.

* Xét dãy số (v_n) với .

Với mỗi n ∈ N* ta có:

Vì (−n² − n + 1) < 0 với ∀n ≥ 1, và [(n+1)² + 1] . (n² + 1) > 0

Kết luận: dãy số (v_n) là một dãy số giảm.

Câu 7: Cho dãy số (un ) với và dãy số (vn ) với . Tìm mệnh đề đúng ?

A. Dãy số (u_n) tăng ; dãy số (v_n) giảm.

B.Dãy số (u_n)giảm ; dãy số (v_n) tăng.

C. Dãy số (u_n) và (v_n) đều giảm.

D. Dãy số (u_n) và (v_n) đều tăng.

Lời giải:

Đáp án: B

* Xét dãy số (u_n) với

Dễ thấy un >0 với mọi n. Xét tỉ số

Ta có:

Thật vậy: ( luôn đúng với n ≥ 1)

Kết luận: (u_n) là một dãy số giảm.

* Xét dãy số (v_n) với

Ta có:

Với mọi n ∈ N* ta có:

Kết luận (v_n) là dãy số tăng.

Câu 8: Dãy số (u_n) với u_n = n − √(n² − 1) và dãy số . Chọn mệnh đề đúng

A. Cả hai dãy số giảm.

B. Cả hai dãy số tăng.

C. Dãy số (u_n) tăng và (v_n) giảm.

D. Dãy số (u_n) giảm và (v_n ) tăng.

Lời giải:

Đáp án: B

* Xét dãy số (u_n) với u_n = n − √(n² − 1)

Ta có:

Dễ dàng ta có:

hay u_{n + 1} < u_n

Từ đó suy ra dãy số (u_n) là dãy số giảm.

* Xét dãy số (v_n) với

Ta có:

Dễ dàng ta có:

Vậy dãy số (v_n) là dãy số giảm.

Câu 9: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

A. Dãy số tăng    B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Với ∀n ∈ N* ta có: nên u_n+1 − u_n > 0

=> dãy (u_n) là dãy tăng.

Câu 10: Cho dãy số (u_n) với . Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

A.a < 2    B. a > −2    C. a < 4    D. a < −4

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có dãy số (u_n) tăng khi và chỉ khi: u_n+1 − u_n > 0

Với n ∈ N* thì (2n+1) > 0 và (2n − 1) < 0 nên (*) chỉ xảy ra khi và chỉ khi: −a − 4 > 0 ⇔ a < −4

Câu 11: Cho dãy số (u_n) xác định bởi : .Tìm a để dãy số (u_n) tăng.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Mà:

Nên (u_n) tăng ⇔ u_n+1 − u_n > 0 ⇔ 4 − 5a < 0

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số u_n = $\frac{3n^2-2n+1}{n+1}$.

Bài 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số u_n = $n-\sqrt{n^2-1}$.

Bài 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số u_n = $\frac{3^n-1}{2^n}$.

Bài 4. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số u_n $=\frac{2n-13}{3n-2}$.

Bài 5. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số u_n $=\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng thứ n của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách tìm công thức của số hạng tổng quát (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

---