Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách xét tính bị chặn của dãy số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét tính bị chặn của dãy số.

Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

1) Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng thì:

Thu gọn un, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn u_n.

Ta cũng có thể chặn tổng bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2) Nếu dãy số (u_n) cho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu (nếu có) sau đó giải bất phương trình u_n+1 − u_n dựa vào đó chặn (u_n).

3) Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào phương pháp đánh giá (chú ý n ∈ N*)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) có

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

* Với n∈ N* ta có :

Nên dãy số bị chặn dưới bởi 0

+ Lại có; với n ∈ N*

Nên dãy (u_n) bị chặn trên bởi 2.

=> dãy số (u_n)bị chặn.

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của các dãy số (u_n) biết u_n = (−1)ⁿ

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> − 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n nên (un) là dãy số bị chặn.

Chọn A.

Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của các dãy số (u_n) biết u_n = 4n − 2

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2

=> dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 2 và dãy (u_n) không bị chặn trên.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số (u_n) bị chặn trên.

B.Dãy số (u_n) bị chặn dưới.

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số không bị chặn.

Hướng dẫn giải:

+ Xét hiệu:

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

+ Ta có:

suy ra ∀n ∈ N*; u_n < 2 nên (u_n) bị chặn trên. (1)

Vì (u_n) là dãy số tăng nên

=> (u_n) bị chặn dưới. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (u_n) bị chặn.

=> D sai.

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = 1 + (n − 1) . 2ⁿ. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Công thức truy hồi của dãy số là:

C. 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1,5,17, 49, 129.

D. Dãy số bị chặn trên.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

=> C đúng

+ Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

+ Ta có: u_n+1 − u_n = (n+1). 2n > 0

Suy ra dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: u_n = 1 + (n − 1).2ⁿ ≥ 1 với ∀n ≥ 1

=> (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

=> D sai.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng.

A. Dãy số (u_n) bị chặn trên ; không bị chặn dưới.

B. Dãy số (u_n) bị chặn dưới ; không bị chặn trên.

C.Dãy số (u_n) không bị chặn.

D. Dãy số (u_n) bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Công thức u_n được viết lại:

Với mọi n ∈ N* ta có : 2n² + 4 > 0

=> (u_n) bị chặn trên bởi

+ Lại có : với mọi n ∈ N* thì : n² + 1 > 0 và 2n² + 4 > 0

=>(u_n) bị chặn dưới bởi 0.

Vậy dãy số (u_n) là bị chặn

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

D.Dãy số bị chặn.

Hướng dẫn giải:

* Ta viết lại:

Xét hiệu số:

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

* Ta có:

Suy ra (u_n) là một dãy số bị chặn.

Kết luận (u_n) là một dãy số tăng và bị chặn.

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u_n = n² − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của dãy số là :

B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là

D. Dãy số bị chặn trên.

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u₁ = 1² − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

* Ta có: u_n = n² − 4n + 4 − 1 = (n − 2)² − 1 ≥ 1 với ∀n ≥ 1

Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.

*Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tìm mệnh đề đúng nhất ?

A. Dãy số bị chặn trên ; không bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặn dưới ; không bị chặn trên.

C. Dãy số không bị chặn.

D. Dãy số bị chặn.

Hướng dẫn giải:

+ Rõ ràng u_n > 0 với mọi n nên (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

+ Lại có:

Suy ra:

=> (u_n) bị chặn trên.

Kết luận (u_n) bị chặn.

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng ?

A. Dãy số bị chặn.

B. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

D. Dãy số không bị chặn .

Hướng dẫn giải:

* Rõ ràng u_n > 0 với ∀n ∈ N* nên (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

* Có . Do đó:

với mọi n.

=> (u_n) bị chặn trên bởi 2.

Kết luận (u_n) bị chặn.

Chọn A.

Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

* Với mọi n ∈ N* ; ta có u_n > 0. Xét tỉ số

=> u_n+1 < u_n nên dãy (u_n) là dãy số giảm.

* Vì dãy số (u_n) là dãy số giảm nên u_n ≤ u₁ = 2 ∀n

Suy ra: 0 < u_n ≤ 2 ∀n ∈ N*

=> dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Chọn D .

Ví dụ 12: Cho dãy số . Xét dãy số y_n = x_n+1 − x_n. Khẳng định nào đúng về dãy (y_n)

A. Tăng,bị chặn    B. Giảm,bị chặn

C. Tăng,chặn dưới    D. Giảm,chặn trên

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó:

Ta chứng minh dãy (yn) tăng.

Ta có:

Ta chứng minh dãy (y_n) bị chặn.

Trước hết ta chứng minh: x_n ≤ 4(n−1) (1) với n ≥ 2

* Với n = 2, ta có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) đúng với n = 2.

* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: x_k ≤ 4(k−1). Ta chứng minh đúng với n = k + 1

Nên (1) đúng với n= k+1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng

Ta có:

Vậy bài toán được chứng minh.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n): u_n = 4 − 3n − n²

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có

=> dãy số (u_n) bị chặn trên; dãy (u_n) không bị chặn dưới.

Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

+ Với mọi n ∈ N* ta có 2n > 0 và n² − n + 1 > 0

nên u_n > 1 (1)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: n² + 1 ≥ 2n

=> n² − n + 1 ≥ n nên

=> u_n ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra dãy số (u_n) là bị chặn.

Câu 3: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên    D. Bị chặn dưới

Lời giải:

Đáp án: A

* Với mọi n nguyên dương ta có:

* Lại có: với mọi n ∈ N*

Vậy 0 < u_n ≤ 2 nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên.     B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn.     D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: C

* Với mọi n ∈ N* ta có: u_n > 0

=> (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

Lại có:

Suy ra

=> (u_n) bị chặn trên bởi

Kết luận (u_n) bị chặn.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị chặn

B. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.

D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Với mọi n ∈ N* ta có u_n > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0.

+ Lại có:

Suy ra:

Nên (u_n) bị chặn trên.

Kết luận (u_n) bị chặn.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề sai?

A. Với mọi n ∈ N*; u_n < 15

B. Dãy số (u_n) là dãy số tăng.

C. Dãy số (u_n) bị chặn dưới.

D. Dãy số (u_n) bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: D

* Ta dùng quy nạp chứng minh: với mọi n ∈ N*; u_n < 15

Ta có u₁ = 1 < 15 nên đúng với n= 1.

Giả sử đúng với n = k; k ∈ N* tức là có: u_k < 15.

khi đó

Vậy u_n < 15 với ∀n ∈ N*. (1)

* Ta có (do (1))

=> dãy số (u_n) tăng

=> u_n ≥ u₁ = 1 nên (u_n) bị chặn dưới bởi 1.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặm dưới nhưng không bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải:

Đáp án: C

*Với k = 2,3...n ta có

Do đó:

Vế cộng vế suy ra:

=>(u_n) bị chặn trên bởi 2.

* Mặt khác; với ∀n ∈ N* ta có: u_n > 0

=> (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

=> (u_n) bị chặn.

Câu 7: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau .

A. Dãy số (u_n) bị chặn.

B.Dãy số (u_n) không bị chặn .

C. Dãy số (u_n) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

D. Dãy số (u_n) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án: A

*Với mọi n∈ N* ta có: nên (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

* Lại có:

Mà:

Suy ra: u_n < 3 với mọi n nên dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 3.

Kết luận: dãy số (u_n) bị chặn.

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

* Ta có: với mọi n ≥ 1.

Suy ra u_n+1 > u_n ∀n ≥ 1 ⇔ dãy (u_n) là dãy tăng.

* Mặt khác:

Với n ≥ 1; thì

Lại có với n ≥ 1 thì

Suy ra:

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có:

=> u_n+1 > u_n ∀n > 1 => dãy (u_n) là dãy số tăng.

* Lại có:

dãy (u_n) bị chặn dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên    B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

+ Với mọi n ∈ N* ta có : u_n > 0 . Xét tỉ số :

=> u_n+1 < u_n với mọi n.

=> Dãy số (u_n) là dãy số giảm.

+ Mặt khác : √(1 + n + n²) > 1 với ∀n ∈ N*

Vậy 0 < u_n < 1 nên dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Câu 11: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

A. Tăng, bị chặn    B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới    D. Giảm, chặn trên

Lời giải:

Đáp án: B

*Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 < u_n ≤ 2

Điều này đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k + 1 tức là: 1 < u_k ≤ 2. Ta chứng minh đúng với n = k+ 1.

Thật vậy ta có:

nên ta có đpcm.

Mà

Vậy dãy (u_n) là dãy giảm và bị chặn.

Câu 12: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

A. Tăng, bị chặn     B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới     D. Giảm, chặn trên

Lời giải:

Đáp án: A

*Trước hết ta chứng minh 1 < u_n < 4

Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k tức là: 1 < u_k < 4. Ta chứng minh đúng với n = k + 1

Thật vậy: 1 < u_k+1 = u_k + √(u_k-1) < √4 + √4 = 4

Vậy dãy (u_n) là bị chặn.

*Ta chứng minh (un) là dãy tăng

Ta có: u₁ < u₂, giả sử u_n+1 < u_n, ∀n ≥ k.

Khi đó:

=> dãy (u_n) là dãy tăng.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a. u_n = n² + n – 1

b. u_n = – n² + 1

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n), với u_n = 2n – 1.

Bài 3. Xét tính bị chặn của dãy số sau: u_n = $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+2\right)}$.

Bài 4. Xét tính bị chặn của dãy số sau: u_n = $\frac{2n+1}{n+2}$.

Bài 5. Xét tính bị chặn của dãy số sau:

a. (a_n) với a_n = ${\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\cos \frac{n\pi }{4}$;

b. (u_n) với u_n = $\frac{6n-4}{n+2}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng thứ n của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách tìm công thức của số hạng tổng quát (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

---