Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng (cực hay có lời giải)

Bài viết Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng.

Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

* Để chứng minh dãy số (u_n) là một cấp số cộng, ta xét A = u_n+1 − u_n

Nếu A là hằng số thì (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = A.

Nếu A phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số cộng.

* Ngoài ra; để chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: u_k+1 − u_k ≠ u_k − u_k−1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = 17n + 2 là cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Hiệu: u_n+1 – u_n = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Suy ra: (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 17.

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = 10 − 5n là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n.

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5

=> (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = −5.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 2ⁿ⁺¹ + 3

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (2ⁿ⁺¹ + 3) − (2ⁿ + 1)= 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ

=> (u_n+1 − u_n) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) với . Chứng minh rằng (u_n) không là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét hiệu:

=> (u_n+1 − u_n) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) với u_n = n² + 2n + 2. Chứng minh (u_n) không là cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = (n+1)² + 2(n+1) + 2 = n² + 4n + 5

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (n² + 4n + 5) − (n² + 2n + 2) = 2n + 3

=> Hiệu (u_n+1 − u_n) còn phụ thuộc vào n nên (u_n) không là cấp số cộng.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) với u_n = 10. Chứng minh (u_n) là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: u_n+1 = 10

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = 10 − 10 = 0

=> (u_n) là cấp số cộng với công sai d= 0

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) có . Chứng minh dãy số (u_n)không là cấp số cộng ?

Hướng dẫn giải:

Ta có

=> u₃ − u₂ ≠ u₂ − u₁ nên dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) có . Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Ta có

=> dãy số trên không phải cấp số cộng.

Ví dụ 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ta thấy: u₁ + u₃ ≠ 2u₂

T => dãy số (u_n) đã cho không là cấp số cộng.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và u_n+1= √(2 + u_n). Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 ∀n ∈ N*.

* Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh đúng với n= k + 1 hay u_k+1 = 2.

Theo giả thiết ta có: u_k+1 = √(2 + u_k) = √(2+2) = 2

=> Đúng với n = k + 1, ta có đpcm.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_n+1 nên u_n+1 − u_n = 0.

=> Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = −13n + 27 là cấp số cộng

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14

=> Hiệu: u_n+1 − u_n = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13

Suy ra: (u_n) là cấp số cộng với công sai d= −13.

Câu 2: Chứng minh dãy số (u_n) với u_n = −3 − 8n là cấp số cộng.

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = −3 − 8(n+1) = −11 − 8n

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8

=> (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = −8.

Câu 3: Cho dãy số (u_n) với u_n = 3. (−4)ⁿ − 8. Chứng minh rằng dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng .

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = 3.(−4)ⁿ⁺¹ − 8

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = [3.(−4)ⁿ⁺¹ − 8] − [ 3.(−4)ⁿ − 8] = 3.(−4)ⁿ⁺¹ − 3.(−4)ⁿ

=> (u_n+1 − u_n) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) với . Chứng minh rằng (u_n) không là cấp số cộng.

Lời giải:

Ta có:

Xét hiệu:

=> (u_n+1 − u_n) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) với u_n = −2n² + n + 1. Chứng minh (u_n) không là cấp số cộng

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = −2(n+1)² + (n+1) + 1= −2n² − 3n

Xét hiệu: u_{n + 1} − u_n = (−2n² − 3n) − (−2n² + n + 1) = −4n − 1

=> Hiệu (u_n+1 − u_n) còn phụ thuộc vào n nên (u_n) không là cấp số cộng.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) với u_n = −2n² + n + 1. Chứng minh (u_n) không là cấp số cộng

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = −1010

Xét hiệu: u_n+1 − u_n = −1010 − (−1010) = 0

=> (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0

Câu 7: Cho dãy số (u_n) có . Chứng minh dãy số (u_n)không là cấp số cộng ?

Lời giải:

Ta có

=> u₃ − u₂ ≠ u₂ − u₁ nên dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

Câu 8: Cho dãy số (u_n) có . Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Lời giải:

Ta có

=> dãy số trên không phải cấp số cộng.

Câu 9: Cho dãy số (u_n) có . Chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng.

Lời giải:

Ta có:

Ta thấy: u₁ + u₃ ≠ 2u₂

=> dãy số (u_n) đã cho không là cấp số cộng.

Câu 10: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và u_n+1 = √(3u_n − 2). Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng.

Lời giải:

* Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 ∀n ∈ N*.

* Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay u_k+1 = 2.

Theo giả thiết ta có: u_k+1 = √(3u_k − 2) = √(3 . 2 − 2) = 2

=> Đúng với n = k+ 1, ta có đpcm.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_n+1 nên u_n+1 − u_n = 0.

=> Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d= 0.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng:

a) 1; – 3; – 7; – 11; – 15.

b) -2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19.

Bài 2. Chứng minh dãy số sau là cấp số cộng: dãy số u_n với u_n = 2020n – 2021.

Bài 3. Cho dãy số (v_n) với v_n = $\frac{n+1}{n+2}$. Hỏi v_n có phải cấp số cộng không? Vì sao?

Bài 4. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 3 và u_n+1 = $\sqrt{u_n+6}$ với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng u_n vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Bài 5. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng. Chứng minh rằng: a² + ab + b², a² + ac + c² và b² + bc + c² là cấp số cộng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng thứ n của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách tìm công thức của số hạng tổng quát (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

---