Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Bài viết Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

A. Phương pháp giải

+) Sử dụng tính chất: d' là ảnh của d qua phép thì d' song song hoặc trùng với d

Nếu: d: Ax + By + C = 0; d'//d ⇒ d': Ax + By + C' = 0 (C' ≠ C)

+) Sử dụng biểu thức tọa độ

+) Chú ý:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho = (1;-3) và đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến .

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có 2x - 3y + 5 = 0 (*)

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do d' = (d) nên d' song song hoặc trùng với d, vì vậy phương trình đường thẳng d' có dạng 2x - 3y + c = 0.(**)

Lấy điểm M(-1;1) ∈ d. Khi đó M' = (M) = (-1 + 1;1 - 3) = (0;-2).

Do M' ∈ d' ⇒ 2.0 - 3.(-2) + c = 0 ⇔ c = -6

Vậy ảnh của d là đường thẳng d': 2x - 3y - 6 = 0.

Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M', N' tương ứng của chúng qua . Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N'.

Cụ thể: Lấy M(-1;1), N(2;3) thuộc d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M'(0;-2), N'(3;0). Do d' đi qua hai điểm M', N' nên có phương trình

Ví dụ 2: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với = (-2;-1)

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: Gọi (d) = d'. Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0

Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó: (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8

Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’, (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d và chọn B’(-1;1) ∈ d’, (B) = B' ⇒ B(1;2) ∈ d

Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:

⇔ 2x – 8 = -3y

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 3: Gọi M’(x’;y’) ∈ d’, (M) = M'

Ta có: M’ ∈ d’

⇔ 2x’ + 3y’ – 1 = 0

⇔ 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

⇔ M ∈ d: 2x + 3y – 8 = 0

Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ sao cho (d) = d' với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0

Hướng dẫn giải:

d' là ảnh của d qua phép thì d' song song hoặc trùng với d

Nhận thấy d//d’ nên với mỗi điểm A ∈ d; B ∈ d' ta có:

Ví dụ 4: Phép tịnh tiến theo vectơ = (3;m). Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 4x - y + 3 = 0. Ảnh của đường thẳng Δ qua phép tịnh tiến T theo vectơ = (2;-1) có phương trình là:

A. 4x - y + 5 = 0.

B. 4x - y + 10 = 0.

C. 4x - y - 6 = 0.

D. x - 4y - 6 = 0.

Lời giải:

Cách 1. Gọi Δ' là ảnh của Δ qua phép . Khi đó Δ' song song hoặc trùng với Δ nên Δ' có phương trình dạng 4x - y + c = 0.

Chọn C.

Cách 2. Gọi M(x;y) là điểm bất kì thuộc đường thẳng Δ.

Thay x = x' - 2 và y = y' + 1 vào phương trình Δ ta được 4(x' - 2) - (y' + 1) + 3 = 0 ⇔ 4x' - y' - 6 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A'(1;2) thì nó biến đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình nào sau đây?

A. d': 2x - y = 0.

B. d': 2x - y + 1 = 0.

C. d': 2x - y + 6 = 0.

D. d': 2x - y - 1 = 0.

Lời giải:

Gọi là vectơ thỏa mãn

Ta có (d) = d' → d' song song hoặc trùng với d. Suy ra d': 2x - y + c = 0.

Chọn C.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A'(2018;2015) thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?

A. x + y - 1 = 0.

B. x - y - 100 = 0.

C. 2x + y - 4 = 0.

D. 2x - y - 1 = 0.

Lời giải:

• Gọi là vectơ thỏa mãn

• Vì nên qua phép tịnh tiến đường thẳng biến thành chính nó khi nó có vectơ chỉ phương cùng phương với

• Xét B, đường thẳng: x - y - 100 = 0 có một vectơ pháp tuyến , suy ra vectơ chỉ phương cùng phương.

Chọn B.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vectơ biến d thành chính nó thì phải là vectơ nào trong các vectơ sau?

A. = (2;1).

B. = (2;-1).

C. = (1;2).

D. = (-1;2).

Lời giải:

Để d biến thành chính nó khi và chỉ khi vectơ cùng phương với vectơ chỉ phương của d.

Đường thẳng d có VTPT

Chọn C.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song d và d' lần lượt có phương trình 2x - 3y - 1 = 0 và 2x - 3y + 5 = 0. Phép tịnh tiến nào sau đây không biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

A. = (0;2).

B. = (-3;0).

C. = (3;4).

D. = (-1;1).

Lời giải:

• Gọi = (a;b) là vectơ tịnh tiến biến đường d thành d'.

• Lấy M(x;y) ∈ d.

Thay (*) vào phương trình của d ta được 2(x' - a) - 3(y' - b) - 1 = 0 hay 2x' - 3y' - 2a + 3b - 1 = 0

suy ra phương trình d': 2x - 3y - 2a + 3b - 1 = 0

Mặt khác, theo giả thiết d': 2x - 3y + 5 = 0 ⇒ -2a + 3b - 1 = 5 (1)

Nhận thấy, = (-1;1) không thỏa mãn (1).

Chọn D.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d: 2x - y + 4 = 0 và d': 2x - y -1 = 0. Tìm giá trị thực của tham số m để phép tịnh tiến theo vectơ = (m;-3) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 4.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình y = -3x + 2. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ thì đường thẳng Δ biến thành đường thẳng d có phương trình là:

A. y = - 3x + 1.

B. y = - 3x - 5.

C. y = - 3x + 9.

D. y = - 3x + 11.

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra d là ảnh của Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Ta có = (2;3).

Biểu thức tọa độ của phép thay vào Δ ta được:

y' - 3 = -3(x' - 2) + 2

↔ y' = -3x' + 11.

Chọn D.

Lưu ý:

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 5x - y + 1 = 0. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 2 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng Δ biến thành đường thẳng Δ' có phương trình là

A. 5x - y + 14 = 0.

B. 5x - y - 7 = 0.

C. 5x - y + 5 = 0.

D. 5x - y - 12 = 0.

Lời giải:

+) Tịnh tiến theo phương trục hoành về phía trái 2 đơn vị tức là tịnh tiến theo vectơ .

+) Tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị tức là tịnh tiến theo vectơ = (0;3).

+) Khi đó, ta thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ

Ta có: thay vào Δ ta được 5(x' + 2) - (y' - 3) + 1 = 0 ⇔ 5x' - y' + 14 = 0.

Chọn A.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và d': 2x - 3y - 5 = 0. Tìm tọa độ có phương vuông góc với d để .

Lời giải:

Chọn A

Đặt = (a;b), lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có d: 2x - 3y + 3 = 0 (*)

Gỉa sử M'(x';y') = (M). Ta có thay vào (*) ta được phương trình 2x' - 3y' - 2a + 3b + 3 = 0.

Từ giả thiết suy ra -2a + 3b + 3 = -5 ⇔ 2a - 3b = -8.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là .

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng có phương trình d: 3x - 4y + 5 = 0 và d’: 3x - 4y = 0. Phép tịnh tiến theo vectơ biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Khi đó, độ dài bé nhất của vectơ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

+) Độ dài bé nhất của vectơ bằng khoảng cách giữa hai đường d và d'.

+) Nhận thấy d//d’. Nên khoảng cách từ d đến d; bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên d đến d’ (hoặc từ 1 điểm bất kì trên d’ đến d)

+) Chọn A(0;0) ∈ d'. Ta có

Chọn C.

Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy cho M(x₀;y₀) và Δ: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ M đến ∆ là:

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$= (3; m). Tìm m để đường thẳng d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'.

Bài 3. Trong mặt phẳng vectơ $\overrightarrow{v}$ = (−2;1) cho, đường thẳng d có phương trình 2x − 3y + 3 = 0, đường thẳng d₁ có phương trình 2x − 3y – 5 = 0.

a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua $T_{\overrightarrow{v}}$.

b) Tìm tọa độ của $\overrightarrow{w}$ có giá vuông góc với đường thẳng d để d₁ là ảnh của d qua $T_{\overrightarrow{w}}$.

Bài 4. Cho đường thẳng d có phương trình: 2x – y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$, biết $\overrightarrow{v}$ = (-2; 1).

Bài 5. Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x + 3y – 2 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ = (2; 3).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tính chất của phép tịnh tiến cực hay
• Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay
• Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay
• Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay
• Tính chất đối xứng trục cực hay
• Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục cực hay

---