Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay

Bài viết Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay.

Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay

A. Phương pháp giải

● Cho đường thẳng Δ:ax+by+c = 0

Cách 1: Sử sụng tính chất hai đường thẳng vuông góc ( nêu ở trên)

Cách 2: Sử dụng phương pháp quý tích, với các lưu ý dưới đây:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d: 6x - 5y + 18 = 0 qua phép quay Q_(O,90°).

Hướng dẫn giải:

Cách 1.

d'⊥d nên phương trình có dạng 5x + 6y + c = 0

Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q_(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ c = 18, hay d': 5x + 6y + 18 = 0.

Cách 2.

Ta có phương trình d:6x - 5y + 18 = 0

Gọi d’ là ảnh của d qua Q_(O,90°). Khi đó với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y'⁡) ∈ d'

Thay (*) vào phương trình của d ta được: d: 6y' - 5(-x') + 18 = 0 ⇔ d': 5x + 6y + 18 = 0

Vậy: d': 5x + 6y + 18 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d.

Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 2y + c = 0.

Lấy A(0;3) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;3) biến thành điểm B(3;0) ∈ d'. Khi đó c = -3.

Vậy phương trình đường d' là x + 2y - 3 = 0.

Cách 2. Ta có phương trình d: 2x - y + 3 = 0

Gọi d’ là ảnh của d qua Q_(O,-90°). Khi đó với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y'⁡) ∈ d'

Thay (*) vào phương trình của d ta được: 2(-y') - x + 3 = 0 ⇔ d': x' + 2y' - 3 = 0

Vậy: d': x + 2y - 3 = 0.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 , điểm I(3;1), phép quay Q_(I,90°)(d) = d'. Xác định phương trình đường thẳng d'.

Hướng dẫn giải:

Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d'

Đường thẳng d' có dạng: 2x - y + c = 0.

Vì d' đi qua Inên 2.3 - 1 + c = 0 ⇒ c = -5 ⇒ d': 2x - y - 5 = 0

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x - 3y + 15 = 0 qua phép quay Q_(O,90°).

A. d': x + y + 15 = 0.

B. d': 3x + 5y + 5 = 0.

C. d': 3x + y + 5 = 0.

D. d': 3x + 5y + 15 = 0.

Lời giải:

Chọn D

d'⊥d nên phương trình có dạng 3x + 5y + c = 0

Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q_(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ C = 15, hay d': 3x + 5y + 15 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ:x - y + 2 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

A. d:x + y + 2 = 0.

B. d:x - y + 2 = 0.

C. d:x + y - 2 = 0.

D. d:x + y + 4 = 0.

Lời giải:

Chọn A

Đường thẳng d là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O, góc quay 90° nên d vuông góc với Δ.

Phương trình d có dạng x + y+c = 0 (1)

Chọn M(0;2) ∈ Δ, M'là ảnh của M qua phép quay nên M'(-2;0) ∈ d

Thay vào (1): c = 2.

Vậy phương trình d:x + y + 2 = 0.

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là:

A. 45°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 120°.

Lời giải:

Ta thấy hai đường thẳng a và b có phương trình 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0 là vuông góc với nhau. Suy ra φ = 90°.

Chọn C.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y-4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là:

A. 45°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 120°.

Lời giải:

Đường thẳng a: 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng b: x + 7y-4 = 0 có vectơ pháp tuyến

Góc α là góc tạo bởi a và b ta có

 

Vậy φ = 45°.

Chọn A.

Câu 5. Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d'. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải:

Chọn D

Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ0xy, phép quay tâm I(4;-3)góc quay 180° biến đường thẳng d: x + y - 5 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình

A. x - y + 3 = 0.

B. x + y + 3 = 0.

C. x + y + 5 = 0.

D. x + y - 3 = 0.

Lời giải:

Chọn B

Ta có phép quay Q_(I,180°)là phép đối xứng tâm I

Vì I∉dnên nếu Đ_I(d) = d' thì d//d', suy ra phương trình d': x + y + m = 0 (m ≠ -5).

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.

A. d': x + 3y + 2 = 0.

B. d': x + 3y-2 = 0.

C. d': 3x - y-6 = 0.

D. d': x - 3y-2 = 0.

Lời giải:

Chọn B

Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d.

Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 3y + m = 0.

Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d'. Khi đó m = -2.

Vậy phương trình đường d' là x + 3y - 2 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 1 = 0, điểm I(1;-2), phép quay Q_(I,90°)(d) = d'. Xác định phương trình đường thẳng d'.

A. -x + y - 2 = 0.

B. x - y - 1 = 0.

C. x - y + 3 = 0.

D. x - y - 3 = 0.

Lời giải:

Chọn D

Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d'

Đường thẳng d' có dạng: x - y + c = 0.

Vì d' đi qua Inên 1 + 2 + c = 0 ⇒ c=-3 ⇒ d': x - y - 3 = 0

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I(2;1) và đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0. Tìm ảnh của d qua Q_(I,45°)

Lời giải:

Chọn D

Chọn 2 điểm M(-2;0), N(1;-2) ∈ d. Gọi M'(x₁;y₁) và N' (x₂;y₂) là ảnh của M, N qua Q_(I,45°).

Áp dụng biểu thức tọa độ:

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng có tọa độ Oxy cho một đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0.

Hãy tìm đường thẳng d’ là ảnh của d thông qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay –90°.

Bài 2. Trong một mặt phẳng có tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d thông qua phép quay tâm O, góc quay -180°.

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (5; 0) và đường thẳng d: x + 3y – 5 = 0. Xét phép quay Q tâm O góc quay 90°.

a. Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.
b. Tìm ảnh của d qua phép quay Q.

Bài 4. Phép quay tâm O góc quay 90° biến đường thẳng d thành d’ thì khi đó:

A. d // d’.

B. d’ ⊥ d.

C. d ≡ d’.

D. d // d’ hoặc d ≡ d’.

Bài 5. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 90 độ:

a. 2x – y = 0.

b. x + y + 2 = 0.

c. 2x + y – 4 = 0.

d. y = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay
• Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay
• Tìm ảnh của một điểm qua phép vị tự cực hay
• Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép vị tự cực hay
• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay

---