Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay

Bài viết Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay.

Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay

A. Phương pháp giải

Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay.

Cho đường tròn C(A;R) và Q_(I,α)((C)) = (C'), với C'(A';R').

Khi đó ta có:

 i) R' = R.

 ii) Q_(I,α)(A) = A' (quay về dạng toán tìm tọa độ điểm)

Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ (Phương pháp quỹ tích)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90° biết: (C): (x + 4)² + (y - 1)² = 16

Hướng dẫn giải:

Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4. Khi đó: Q_(O,-90°)(I) = I'(1;4) và bán kính R'=R = 4

Vậy: Q_(O,-90°)(C) = (C'): (x - 1)² + (y - 4)² = 16

Ví dụ 2: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90° biết: (C): (x + 3)² + (y - 2)² = 25

Hướng dẫn giải:

Từ (C), ta có tâm I(-3; 2) và bán kính R = 5. Khi đó: Q_(O,-90°)(I) = I'(-2;-3) và bán kính R' = R = 5

Vậy: Q_(O,-90°)(C) = (C'): (x + 2)² + (y + 3)² = 25

Ví dụ 3: Tìm ảnh của các đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 1)² = 9 qua phép quay tâm O góc 90°

Hướng dẫn giải:

Ta có: (x + 1)² + (y - 1)² = 9 có tâm I(-1;1) bán kính r = 3

Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q_(O,90°) ⇒ I'(-1;-1)

Suy ra ảnh của đường tròn qua phép quay trên là (x + 1)² + (y + 1)² = 9.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 9 qua phép quay Q_(I;90°) với I(3;4).

A. (C'): (x + 2)² + (y - 2)² = 9

B. (C'): (x - 3)² + (y + 2)² = 9

C. (C'): (x + 5)² + (y - 7)² = 9

D. (C'): (x + 3)² + (y - 2)² = 9

Lời giải:

(C) có tâm J(1;-2), R = 3, gọi J'(x';y') = Q_(I;90°)(I) ta có

⇒ J'(-3;2) mà R' = R = 3 nên phương trình (C'): (x + 3)² + (y - 2)² = 9.

Câu 2. Tìm ảnh của các đường tròn (C): x² + (y - 2)² = 4 qua phép quay tâm O góc 90°

A. (x - 2)² + y² = 16

B. (x + 2)² + y² = 4

C. (x - 2)² + y² = 4

D. x² + (y - 2)² = 4

Lời giải:

Chọn C

Ta có: x² + (y - 2)² = 4 có tâm I(0;2) bán kính r = 2

Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q_(O,90°) ⇒ I'(-2;0)

Suy ra ảnh của đường tròn qua phép quay trên là (x - 2)² + y² = 4.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C): x² + y² -2x + 4y - 4 = 0 qua phép quay Q_(O,-π/2).

A. (x + 2)² + (y + 1)² = 9.

B. (x - 2)² + (y - 1)² = 9.

C. (x - 2)² + (y + 1)² = 9.

D. (x - 1)² + (y + 2)² = 9.

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R = 3.

Q_(O,-π/2)(I) = I' ⇒ I'(-2;-1)

Đường tròn (C') có tâm I'(-2;-1), bán kính R' = R = 3 có phương trình: (x + 2)² + (y + 1)² = 9

Cách 2: Phương pháp quỹ tích

Ta có Q_(O,-π/2): M(x;y) → M'(x';y') với ∀ M ∈ (C) ⇒ M' ∈ (C')

Từ biểu thức tọa độ

Thế vào: (C): (-y')² + (x')² + 2y'+ 4x' - 4 = 0 ⇔ (x')² + (y')² + 4x' + 2y' - 4 = 0 ⇔ (x' + 2)² + (y' + 1)² = 9

Câu 4. Trong mặt phắng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² + 6x + 5 = 0. Tìm ảnh đường tròn (C) qua Q_(O,-90°)

A. x² + (y - 3)² = 4.

B. x² + y² + 6y - 6 = 0

C. x² + (y + 3)² = 4

D. (C): x² + y² + 6x - 5 = 0

Lời giải:

Chọn C.

Đường tròn (C) có tâm I(-3;0) và bán kính R = 2. Q_(O,90°)(I) = I' ⇒ I'(0;-3)

Vậy ảnh của (C) là: x² + (y + 3)² = 4

Câu 5. Tìm ảnh của các đường tròn c) x² + y² -4x - 2y - 4 = 0 qua phép quay tâm O góc 90° A.(x + 1)² + (y - 2)² = 9 B.(x + 1)² + (y + 2)² = 9 C.(x + 1)² + (y - 2)² =3 D.(x - 1)² + (y - 2)² = 9

Lời giải:

Chọn A

Ta có: x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0 có tâm I(2;1) bán kính r = 3

Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q_(O,90°) ⇒ I'(-1;2)

Suy ra ảnh của đường tròn qua phép quay trên là (x + 1)² + (y - 2)² = 9.

Câu 6. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 9 qua phép quay Q_(I;90°) với I(3;4).

A. (C'): (x + 2)² + (y - 2)² = 9.

B. (C'): (x - 3)² + (y + 2)² = 9.

C. (C'): (x + 5)² + (y - 7)² = 9.

D. (C'): (x + 3)² + (y - 2)² = 9.

Lời giải:

Chọn D

+ (C) có tâm J(1;-2), R = 3, gọi J'(x';y') = Q_(I;90°)(I) ta có:

⇒ J'(-3;2) mà R' = R = 3 nên phương trình (C'): (x + 3)² + (y - 2)² = 9.

Câu 7. Trong mặt phằng tọa độ Oxy, Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)² + y² = 4 qua phép quay tâm O góc quay 450

Lời giải:

Chọn A.

Đường tròn (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 2

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 3)² = 9. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.

A. (x - 2)² + (y - 3)² = 9.

B. (x + 2)² + (y + 3)² = 9.

C. (x + 2)² + (y - 3)² = 9.

D. (x + 2)² + (y - 3)² =3

Lời giải:

Chọn C

Cách 1:

+) Đường tròn (C) có tâmI(2;-3) và bán kính R = 3.

+) Gọi C'(I',R') là ảnh của (C) qua phép quay Q_(0,180°).

Khi đó ta có: R' = R = 3 và Q_(0,180°)(I) = I', suy ra:

+) Vậy (C') có PT là: (x + 2)² + (y - 3)² = 9.

Cách 2:

+ Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay Q_(0,180°).

+) Với mọi điểm M(x;y) ∈ (C),M'(x';y') ∈ (C') sao cho Q_(0,180°)(M) = M'.

+) Khi đó ta có:

+) Do M(x;y) ∈ (C) nên ta có: (x - 2)² + (y + 3)² = 9 ⇔ (-x' - 2)² + (-y' + 3)² = 9 ⇔ (x' + 2)² + (y' - 3)² = 9

+) Do M'(x';y') ∈ (C') nên (C') có PT là (x + 2)² + (y - 3)² = 9.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90° biết: (C): (x + 4)² + (y - 1)² = 16.

Bài 2. Tìm ảnh của đường tròn (C) có phương trình là: (x – 1)² + (y + 2)² = 9 qua phép quay Q_{(I, 90°)} với I(3; 4).

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x − 2)² + (y + 5)² = 5 qua phép quay Q(O, 180°).

Bài 4. Ảnh của đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 25 qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 90° là?

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C): x² + y² -2x + 4y - 4 = 0 qua phép quay Q(O, $\frac{-\pi }{2}$).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay
• Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay
• Tìm ảnh của một điểm qua phép vị tự cực hay
• Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép vị tự cực hay
• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay

---