Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay

Bài viết Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự.

Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay

A. Phương pháp giải

Cách 1. Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M(x;y) thuộc hình (C), V_(O,k)(M) = M'(x';y') thì M'thuộc ảnh (C') của hình (C).

Cách 2. áp dụng tính chất phép vị tự biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 1)² = 4. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = 3

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm J(1;1), bán kính R = 2.

⇒ J'(7;-2).

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự V_(I;3) thì(C') có tâm J'(7;-2), bán kính R' = 3R = 6.

Vậy (C'): (x - 7)² + (y + 2)² = 36.

Ví dụ 2: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:

a) (C): (x – 2)² + (y + 4)² = 1, k = -1/2

b) (C): x² + y² – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4

Hướng dẫn giải:

a)

b)

Gọi V_(O,4)(C) = (C'). Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4

Khi đó: V_(O,4)(I) = I'(12; -8) và bán kính R’ = |4|R = 16.

Vậy: (C’): (x – 12)² + (y + 8)² = 256

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (C): (x - 2)² + (y - 1)² = 4 và (C'): (x - 8)² + (y - 4)² =16. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1;2),bán kính R = 2; đường tròn (C') có tâm I'(8;4), bán kính R' = 4. Do I ≠ I' và R ≠ R' nên có hai phép vị tự V_(J;2) và V_(J';-2) biến (C) thành (C'). Gọi J(x;y)

Với k = 2 khi đó

⇒ J(-4;-2).

Tương tự với k = -2, tính được J'(4;2).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳngOxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)² + (y - 2)² = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. (x - 2)² + (y - 4)² = 16.

B. (x - 4)² + (y - 2)² = 4.

C. (x - 4)² + (y - 2)² = 16.

D. (x + 2)² + (y + 4)² = 16.

Lời giải:

Chọn D

Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và bán kính r = 2.

Đường tròn cần tìm có tâm I' = V_(O,k)(I) và bán kính r' = |k|.r.

Khi đó:

I'(-2;-4) và r' = 4.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)² + (y - 1)² = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. (x - 1)² + (y - 1)² = 8.

B. (x - 2)² + (y - 2)² = 8.

C. (x - 2)² + (y - 2)² = 16.

D. (x + 2)² + (y + 2)² = 16.

Lời giải:

Chọn C

Đường tròn (C) có tâm I(1;1) và bán kính r = 2.

Đường tròn cần tìm có tâm I' = V_(O,k)(I) và bán kính r' = |k|.r.

Khi đó: I'(2;2) và r' = 4.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 5)² = 4 và điểm I(2;-3). Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = -2. Khi đó (C') có phương trình là:

A. (x - 4)² + (y + 19)² = 16.

B. (x - 6)² + (y + 9)² = 16.

C. (x + 4)² + (y - 19)² = 16.

D. (x + 6)² + (y + 9)² = 16.

Lời giải:

Chọn A

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-6)² + (y - 4)² = 12. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1/2 và phép quay tâm O góc 90°.

A. (x + 2)² + (y - 3)² = 3.

B. (x - 2)² + (y + 3)² = 3.

C. (x + 2)² + (y - 3)² = 6.

D. (x - 2)² + (y + 3)² = 6.

Lời giải:

Chọn A

Đường tròn (C) có tâm I(6;4) và bán kính

Qua phép vị tự tâm O tỉ số 1/2 điểm I(6;4) biến thành điểm I₁(3;2);

Qua phép quay tâm O góc 90° điểm I₁(3;2) biến thành điểm I'(-2;3).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng trên là đường tròn có tâm I'(-2;3) và bán kính có phương trình: (x + 2)² + (y - 3)² = 3.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 1)² = 9. Gọi (C')là ảnh của đường tròn (C) qua việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số và phép tịnh tiến theo vectơ = (1; -3). Tính bán kính R' của đường tròn (C').

A. R' = 9.

B. R' = 3.

C. R' = 27.

D. R' = 1.

Lời giải:

Đường tròn (C) có bán kính R = 3.

Qua phép vị tự tâm O, tỉ số , đường tròn (C) biến thành đường tròn (C₁) có bán kính là

Qua phép tính tiến theo vectơ = (1; -3), đường tròn (C₁) biến thành đường tròn (C') có bán kính R' = R₁ = 1.

Vậy R' của đường tròn (C') là R' = 1.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn lần lượt có phương trình là: (C): x² + y² - 2x + 6y - 6 = 0 và (C'): x² + y² -x + y- = 0. Gọi (C) là ảnh của (C') qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó, giá trị của k là:

Lời giải:

Chọn B

Đường tròn (C) có bán kính là R = 4.

Đường tròn (C') có bán kính là R' = 2.

Do (C) là ảnh của (C') qua phép vị tự tỉ số k ⇒ R = |k|R' ⇔ 4 = 2|k| ⇔ k = ±2.

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 1)² = 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.

A. (x - 3)² + (y + 3)² =2.

B. (x - 3)² + (y + 3)² =18.

C. (x + 3)² + (y - 3)² =18.

D. (x + 3)² + (y - 3)² =6.

Lời giải:

Chọn B

(C) có tâm I(1;-1), bán kính R =

Gọi I'(x;y) là tâm của (C'), (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.

Ta có

Mặt khác R'=|3|. R = 3 Từ đó ta có phương trình (C') là.

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh đường tròn (C')của đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 5 qua phép vị tự tâm 0 tỉ số k = -2.

A. (C'): (x + 2)² + (y + 4)² = 10.

B. (C'): (x - 2)² + (y - 4)² = 10.

C. (C'): (x + 2)² + (y - 4)² = 20.

D. (C'): (x - 2)² + (y + 4)² = 20.

Lời giải:

Chọn C

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 3)² + (y + 1)² = 5. Tìm ảnh đường tròn (C') của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) và tỉ số k = -2

A. x² + y² + 6x - 16y + 4 = 0.

B. x² + y² - 6x + 6y - 4 = 0.

C. (x + 3)² + (y - 8)² = 20.

D. (x - 3)² + (y + 8)² = 20.

Lời giải:

Chọn C

Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C₁): (x - 1)² + (y - 3)² =1; (C₂): (x - 4)² + (y - 3)² = 4. Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó

A. (-2;3).

B. (2;3).

C. (3;-2).

D. (1;-3).

Lời giải:

Chọn A

Đường tròn (C₁) có tâm I₁(1;3) và bán kính R₁ = 1

Đường tròn (C₂) có tâm I₂(4;3) và bán kính R₂ = 2

Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C₁) :(x - 3)² + (y - 3)² = 9 và đường tròn (C₂): (x - 10)² + (y - 7)² = 4. Tìm tâm vị tự trong biến (C) thành (C').

Lời giải:

Chọn A

• Đường tròn (C) có tâm I(3;3) và bán kính R = 3

• Đường tròn (C') có tâm I'(10;7) và bán kính R' = 2

• Nhận thấy: I ≠ I', R ≠ R'. Gọi O₁(x;y) là tâm vị tự trong. Khi đó: V_(1,k)(I) = I'

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = -2 biến đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 4 thành đường tròn nào?

Bài 2. Với hai đường tròn bất kì có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia?

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có phương trình (x − 1)² + (y − 2)² = 4. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số -2 biến đường tròn thành đường tròn nào, viết phương trình đường tròn đó?

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho phép vị tự V(O; -2) biến đường tròn (C): x² + y² - 6x 4y – 3 = 0 thành đường tròn (C’). Tâm I’ và bán kính R’ của (C’) là bao nhiêu?

Bài 5. Cho điểm I và đường tròn (O; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay
• Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay
• Tìm ảnh của một điểm qua phép vị tự cực hay
• Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép vị tự cực hay
• Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay

---