Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số - Toán lớp 11



Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x). Nếu f ’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) và được kí hiệu là: f ''(x), tức là:

f ’’(x) = (f’(x))’

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – 1 (với n ∈ N, n ≥ 2)) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1)(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x) và được kí hiệu là f(n)(x), tức là:

f(n)(x) = (f(n-1)(x))'

Để tính đạo hàm cấp n:

   + Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

   + Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Ví dụ minh họa

Bài 1: Hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án.Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên.

Hướng dẫn:

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Hàm số y = (x) = cos⁡(2x - π/3) . Phương trình f(4)(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0; π/2] là:

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)3 + 4(x+1)

Tìm tập nghiệm của phương trình f ''(x) = 0 ?

Hướng dẫn:

Vì: f '(x) = 15(x+1)2 + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1

Bài 4: Cho hàm số y = sin2⁡2x. Tính y(4)(π/6) ?

Hướng dẫn:

Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x;

y(4) = -128cos4x ⇒ y(4)(π/6) = 64√3

Bài 5: Cho hàm số y = sin2x. Tính y’’

Hướng dẫn:

Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x

Bài 6: Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''(π/3), y(4)(π/4) ?

Hướng dẫn:

Ta có y ''' = -8cos2x, y(4) = 16sin2x

Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y(4)(π/4) = 16sin⁡(π/2) = 16

Bài 7: Cho hàm số y = sin2x. Tính y(n)?

Hướng dẫn:

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = (3/4)x4 - 2x3 - 5x + sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. 9x2-12x+sinx

B. 9x2-12x-sinx

C. 9x2-6x-sinx

D. 9x2-12x+cosx

Đáp án: B

y’ = 3x3 - 6x2 - 5 + cosx. Do đó y” = 9x2 - 12x - sinx. Chọn đáp án B

Bài 2: Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = sin2x bằng biểu thức nào sau đây?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: D

y’ = 2sinxcosx = sin2x

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chọn đáp án D

Bài 3: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/(2x-3) bằng biểu thức nào dưới đây?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án A

Bài 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?

A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x

B. – cos2x - 4cos4x – 9cos6x

C. – cosx - 4cos2x - 9cos3x

D. (-1/4)cos2x + (1/4)cos4x + (-1/4)cos6x

Đáp án: B

Ta có: y = (1/2)(cos3x+cosx)cos3x = (1/4)(cos6x+1+cos4x+cos2x)

Khi đó y ’’ = - cos2x - 4cos4x – 9cos6x

Đáp án B

Bài 5: Đạo hàm cấp 2016 của hàm số y = sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. cosx

B. sinx

C. –sinx

D. –cosx

Đáp án: B

Đáp án B

Ta có : Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy đạo hàm cấp 2016 của hàm số đã cho là : sinx

Bài 6: Cho hàm số f(x) = x2015 + 2x2014 + 3x2013 +⋯ + 2015x + 2016. Giá trị f(2016)(x) bằng:

A. 2016!

B. 2015!

C. 2014!

D. 0

Đáp án: D

Đáp án D

Do số mũ cao nhất trong đa thức x2015 + 2x2014 + 3x2013 +⋯ + 2015x + 2016 là 2015 nên f(2016)(x) = 0

Bài 7: Hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp hai là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: D

Chọn D.

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 8: Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là:

A. y ''' = 12(x2+1)

B. y ''' = 24(x2+1)

C. y ''' = 24(5x2+3)

D. y ''' = -12(x2+1)

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có y = x6+3x4+3x2+1; y' = 6x5+12x3+6x

y '' = 30x4+36x2+6; y ''' = 120x3+72x = 24x(5x2+3)

Bài 9: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp hai bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: C

Chọn C

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 10: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp 5 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 11: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp 5 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 12: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp 2 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: C

Chọn C.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 13: Hàm số y = (2x+5)5 có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. y ''' = 80(2x+5)5

B. y ''' = 480(2x+5)2

C. y ''' = -480(2x+5)2

D. y ''' = -80(2x+5)3

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có: y' = 5(2x+5)4.2 = 10(2x+5)4; y'' = 80(2x+5)3; y ''' = 480(2x+5)2.

Bài 14: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: D

Chọn D

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 15: Bài 15: Cho hàm số y = sinx. Chọn câu sai.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: D

Chọn D

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Nguyễn Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


dao-ham.jsp