Ý nghĩa của đạo hàm - Toán lớp 11



Ý nghĩa của đạo hàm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

Ý nghĩa vật lí :

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s(t) tại thời điểm to là v(to) = s’(to)

Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm to là : I(to) = Q’(to).

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f ''(x) là gia tốc tức thời cảu chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Nếu tồn tại, f '(xo ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại Mo(xo; f(xo)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là Mo

y - yo = f '(xo)(x - xo)

Bài 1: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s

Hướng dẫn:

Ta có vận tốc của chuyển động: v = (s)’ = gt

Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s là: 9,8.5 = 49 m/s

Bài 2: Xét chuyển động có phương trình

        s(t) = Asin(ωt + φ)        (A, ω, φ là những hằng số).

Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Hướng dẫn:

Ta có gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là:

a(t) = s '' (t) = (Aω cos⁡(ωt + φ) )' = -Aω2 sin⁡(ωt + φ)

Bài 3: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = (1/3)t3 - t2 + 5t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Gia tốc của chuyển động khi t là :

a(t) = (s(t)) '' = (t2-2t+5)' = 2t-2

Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là : a(4) = 6 m/s2

Bài 4: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δt (Δt = 0,2s) là:

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = gt

Tại t = 3: v = 29,4 m/s

Tại t + Δt = 3,2s: v = 31,36 m/s

Khi đó vận tốc trung bình là: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 5: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = 2t3+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 là

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = 6t2 + 5

v(3) = 59 m/s

Bài 6: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = t3-3t2-9t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = 3t2 - 6t - 9

v(t) = 0 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gia tốc của chuyển động khi t là :

a(t) = (v(t))' = 6t - 6

Ta có gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: a(3) = 12 m/s2

Bài 7: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = 3t2 - 6t + 9

Gia tốc của chuyển động khi t là :

a(t) = (v(t))' = 6t - 6

a(t) = 0 ⇔ t = 1

Ta có vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là v(1) = 6 m/s

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là:

A. 24 m/s2                B. 17 m/s2                C. 14 m/s2                D. 12 m/s2

Đáp án: D

Đáp án D

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

s ' = (t3-3t2+5t+2)' = 3t2-6t+5

s ' = 6t - 6 ⇒ s ''(3) = 12

Bài 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2-9t+2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m/s

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là a = 12 m/s2

D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0

Đáp án: C

Đáp án C

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

s' =(t3-3t2+5t+2)' = 3t2-6t+5

s' = 6t-6 ⇒ s ''(3) = 12

Bài 3: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2 (t tính bằng giây; stính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 18 m/s2

B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 9 m/s2

C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12 m/s

D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24 m/s

Đáp án: A

Đáp án A

s' = 3t2-6t ⇒ s '' = 6t - 6

s ''(4) = 18 m/s2

Bài 4: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S = (1/2)t2 (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t0 = 5(s)

A. 5/2                B. 5                C. 25                D. 12,5

Đáp án: B

s' = v(t) = t ⇒ v(5) = 5 m/s. Đáp án B

Bài 5: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t2 + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

A. 13

B. 16

C. 36

D. 17

Đáp án: D

Q'(t) = I(t) = 4t + 1 ⇒ t(4) = 17. Đáp án D

Bài 6: Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình (t) = t3 - 4t2 - 2t + 1 , t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s2) chuyển động của chất điểm khi t = 3s là:

A. 10

B. 8

C. 18

D. 1

Đáp án: A

s' = v(t) = 3t2-8t-2, s'' = a(t) = 6t - 8 ⇒ a(3) = 10 m/s2. Đáp án A

Bài 7: Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình S = t3-5t2-9t+3, t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s2) chuyển động của chất điểm khi t = 2s là:

A. 2

B. -5

C. -27

D. 22

Đáp án: A

s' = v(t) = 3t2-10t-9, s'' = a(t) = 6t - 10 ⇒ a(2) = 2 m/s2. Đáp án A

Bài 8: Tính giá trị gần đúng (chính xác đến 3 chữ số thập phân, với π ≈ 3,141) của diện tích hình tròn có bán kính bằng 4,05 m.

A. 50,570 m2

B. 50,884 m2

C. 51,52 m2

D. 52 m2

Đáp án: C

S = π.r2 = 3,141.4,052 = 51,52 m2. Đáp án C

Bài 9: Cho đường cong có phương trình y = x2 - 2x + 1. Hệ số góc của tiếp tuyến đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. 1

B. -1

C. 0

D. 2

Đáp án: C

y’ = 2x – 2. y’(1) = 0. Đáp án C

Bài 10: Cho đường cong có phương trình y = x4-x2+1. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng -1 đi qua điểm:

A. M(0, 4)

B. M(1, -3)

C. M(-2, -1)

D. N(2, -3)

Đáp án: B

y' = 4x3-2x, y'(-1) = -2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ -1 là:

y = -2(x + 1) + 1 = -2x – 1

Vậy tiếp tuyến qua điểm M(1; -3). Đáp án B

Bài 11: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)= 2t2 + t, trong đó t được tính bừng giây (s) và Q được tính theo culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 2s.

A. 9

B. 10

C. 9

D. 6

Cho bài toán sau:

Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S = t3-3t2+5t+3 (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường tính bằng mét).

Đáp án: A

Q'(t) = I(t) = 4t + 1 ⇒ t(2) = 9. Đáp án A

Bài 12: Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t0 = 2s

A. 9

B. 5

C. 9

D. 8

Đáp án: B

s' = v(t) = 3t2-6t+5 ⇒ v(2) = 5 m/s. Đáp án B

Bài 13: Tính gia tốc (m/s2) của chất điểm tại thời điểm t0 = 2s

A. 12

B. 5

C. 11

D. 6

Cho bài toán sau:

Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường

Đáp án: D

s'' = a(t) = 6t - 6 ⇒ a(2) = 6 m/s2. Đáp án D

Bài 14: Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δt (Δt = 0,1s) là:

A. 30 m/s                B. 29.89 m/s                C. 30,56 m/s                D. 30,51 m/s

Đáp án: B

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = gt

Tại t = 3: v = 29,4 m/s

Tại t + Δt = 3,1s : v = 30,38 m/s

Khi đó vận tốc trung bình là:Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án B

Bài 15: Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2s là:

A. 19,05 m/s                B. 19 m/s                C. 19,6 m/s                D. 10 m/s

Đáp án: C

v(2) = 19,6 m/s. Đáp án C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


dao-ham.jsp