Dạng bài tập Ý nghĩa của đạo hàm (Vật Lí, Cơ học, Hình học) (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Ý nghĩa của đạo hàm (Vật Lí, Cơ học, Hình học) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ý nghĩa của đạo hàm (Vật Lí, Cơ học, Hình học).

Dạng bài tập Ý nghĩa của đạo hàm (Vật Lí, Cơ học, Hình học) (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

Ý nghĩa vật lí :

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s(t) tại thời điểm t_o là v(t_o) = s’(t_o)

Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm to là : I(t_o) = Q’(t_o).

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f ''(x) là gia tốc tức thời cảu chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Nếu tồn tại, f '(x_o ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M_o(x_o; f(x_o)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là M_o

y - y_o = f '(x_o)(x - x_o)

Bài 1: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt², trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s

Hướng dẫn:

Ta có vận tốc của chuyển động: v = (s)’ = gt

Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s là: 9,8.5 = 49 m/s

Bài 2: Xét chuyển động có phương trình

        s(t) = Asin(ωt + φ)        (A, ω, φ là những hằng số).

Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Hướng dẫn:

Ta có gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là:

a(t) = s '' (t) = (Aω cos⁡(ωt + φ) )' = -Aω² sin⁡(ωt + φ)

Bài 3: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = (1/3)t³ - t² + 5t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Gia tốc của chuyển động khi t là :

a(t) = (s(t)) '' = (t²-2t+5)' = 2t-2

Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là : a(4) = 6 m/s²

Bài 4: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt², trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δt (Δt = 0,2s) là:

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = gt

Tại t = 3: v = 29,4 m/s

Tại t + Δt = 3,2s: v = 31,36 m/s

Khi đó vận tốc trung bình là:

Bài 5: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = 2t³+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 là

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = 6t² + 5

v(3) = 59 m/s

Bài 6: Một chuyển động thẳng xác định bởi ph¬ương trình s = t³-3t²-9t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = 3t² - 6t - 9

v(t) = 0 ⇔

Gia tốc của chuyển động khi t là :

a(t) = (v(t))' = 6t - 6

Ta có gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: a(3) = 12 m/s²

Bài 7: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ - 3t² + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = 3t² - 6t + 9

Gia tốc của chuyển động khi t là :

a(t) = (v(t))' = 6t - 6

a(t) = 0 ⇔ t = 1

Ta có vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là v(1) = 6 m/s

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³-3t²+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là:

A. 24 m/s²                B. 17 m/s²                C. 14 m/s²                D. 12 m/s²

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án D

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

s ' = (t³-3t²+5t+2)' = 3t²-6t+5

s ' = 6t - 6 ⇒ s ''(3) = 12

Bài 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³-3t²-9t+2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m/s

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là a = 12 m/s²

D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

s' =(t³-3t²+5t+2)' = 3t²-6t+5

s' = 6t-6 ⇒ s ''(3) = 12

Bài 3: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³-3t² (t tính bằng giây; stính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 18 m/s²

B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 9 m/s²

C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12 m/s

D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24 m/s

Lời giải:

Đáp án: A

Đáp án A

s' = 3t²-6t ⇒ s '' = 6t - 6

s ''(4) = 18 m/s²

Bài 4: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S = (1/2)t² (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t₀ = 5(s)

A. 5/2                B. 5                C. 25                D. 12,5

Lời giải:

Đáp án: B

s' = v(t) = t ⇒ v(5) = 5 m/s. Đáp án B

Bài 5: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t² + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

A. 13

B. 16

C. 36

D. 17

Lời giải:

Đáp án: D

Q'(t) = I(t) = 4t + 1 ⇒ t(4) = 17. Đáp án D

Bài 6: Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình (t) = t³ - 4t² - 2t + 1 , t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s²) chuyển động của chất điểm khi t = 3s là:

A. 10

B. 8

C. 18

D. 1

Lời giải:

Đáp án: A

s' = v(t) = 3t²-8t-2, s'' = a(t) = 6t - 8 ⇒ a(3) = 10 m/s². Đáp án A

Bài 7: Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình S = t³-5t²-9t+3, t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s²) chuyển động của chất điểm khi t = 2s là:

A. 2

B. -5

C. -27

D. 22

Lời giải:

Đáp án: A

s' = v(t) = 3t²-10t-9, s'' = a(t) = 6t - 10 ⇒ a(2) = 2 m/s². Đáp án A

Bài 8: Tính giá trị gần đúng (chính xác đến 3 chữ số thập phân, với π ≈ 3,141) của diện tích hình tròn có bán kính bằng 4,05 m.

A. 50,570 m²

B. 50,884 m²

C. 51,52 m²

D. 52 m²

Lời giải:

Đáp án: C

S = π.r² = 3,141.4,05² = 51,52 m². Đáp án C

Bài 9: Cho đường cong có phương trình y = x² - 2x + 1. Hệ số góc của tiếp tuyến đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. 1

B. -1

C. 0

D. 2

Lời giải:

Đáp án: C

y’ = 2x – 2. y’(1) = 0. Đáp án C

Bài 10: Cho đường cong có phương trình y = x⁴-x²+1. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng -1 đi qua điểm:

A. M(0, 4)

B. M(1, -3)

C. M(-2, -1)

D. N(2, -3)

Lời giải:

Đáp án: B

y' = 4x³-2x, y'(-1) = -2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ -1 là:

y = -2(x + 1) + 1 = -2x – 1

Vậy tiếp tuyến qua điểm M(1; -3). Đáp án B

Bài 11: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)= 2t² + t, trong đó t được tính bừng giây (s) và Q được tính theo culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 2s.

A. 9

B. 10

C. 9

D. 6

Cho bài toán sau:

Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S = t³-3t²+5t+3 (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường tính bằng mét).

Lời giải:

Đáp án: A

Q'(t) = I(t) = 4t + 1 ⇒ t(2) = 9. Đáp án A

Bài 12: Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t₀ = 2s

A. 9

B. 5

C. 9

D. 8

Lời giải:

Đáp án: B

s' = v(t) = 3t²-6t+5 ⇒ v(2) = 5 m/s. Đáp án B

Bài 13: Tính gia tốc (m/s²) của chất điểm tại thời điểm t₀ = 2s

A. 12

B. 5

C. 11

D. 6

Cho bài toán sau:

Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt², trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường

Lời giải:

Đáp án: D

s'' = a(t) = 6t - 6 ⇒ a(2) = 6 m/s². Đáp án D

Bài 14: Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δt (Δt = 0,1s) là:

A. 30 m/s                B. 29.89 m/s                C. 30,56 m/s                D. 30,51 m/s

Lời giải:

Đáp án: B

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = (s(t))' = gt

Tại t = 3: v = 29,4 m/s

Tại t + Δt = 3,1s : v = 30,38 m/s

Khi đó vận tốc trung bình là:

Đáp án B

Bài 15: Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2s là:

A. 19,05 m/s                B. 19 m/s                C. 19,6 m/s                D. 10 m/s

Lời giải:

Đáp án: C

v(2) = 19,6 m/s. Đáp án C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ - 2t² - 10t + 5, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

Bài 2. Một vật chuyển động theo phương trình s(t)= - t² + 40t + 10. Trong đó; s là quãng đường vật đi được (m) và t là thời gian vật chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 16 m/s?

Bài 3. Có một xe máy chuyển động được biểu diễn theo phương trình tương ứng cho trước là s(t)= t² + 6t+ 10. Trong đó s là quãng đường đi được (m) và t là đơn vị thời gian (s). Yêu cầu tính vận tốc tức thời ngay thời điểm t = 3.

Bài 4. Cho một vật chuyển động theo phương trình s(t) = 2t² - 100t + 2 trong đó s là quãng đường vật đi được (m) và t thời gian chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?

Bài 5. Một xe máy chuyển động theo phương trình: s(t) = 2t² - 2t - 8 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 2.

Bài 6. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = $\frac{1}{3}{t}^3$ - t² + 5t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là bao nhiêu?

Bài 7. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ - 3t² + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Bài 8. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ - 3t² + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là?

Bài 9. Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình S = t³ - 5t² - 9t + 3, t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s2) chuyển động của chất điểm khi t = 2s là?

Bài 10. Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình (t) = t³ - 4t² - 2t + 1, t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s²) chuyển động của chất điểm khi t = 3s là?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số
• Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
• 40 bài tập trắc nghiệm Vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 1)
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 2)

---

---

---