15 Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có lời giải

---

---

Bài viết 15 Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có lời giải gồm các dạng bài tập về Phương pháp quy nạp toán học lớp 11 từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh lớp 11 biết cách làm bài tập Phương pháp quy nạp toán học.

15 Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có lời giải

Bài 1: Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

A. Mạnh thu được 122 mảnh

B. Mạnh thu được 123 mảnh

C. Mạnh thu được 120 mảnh

D. Mạnh thu được 121 mảnh

Lời giải:

Đáp án: D

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là S_n = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7

Công thức đúng với n = 1

Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1

Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1

Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈ N*. Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1

Đáp án D

Bài 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = n² – 4n – 2. Khi đó u₁₀ bằng:

A. 48        B. 60        C. 58        D. 10

Lời giải:

Đáp án: C

Hướng dẫn giải. u₁₀ = 10² – 4.20 – 2 =58

Đáp án C

Bài 3: Cho dãy số u_n = 1+ (n +3).3ⁿ. khi đó công thức truy hồi của dãy là:

A. u_n+1 = 1 +3u_n với n ≥ 1

B. u_n+1 = 1 +3u_n + 3ⁿ⁺¹ với n ≥ 1

C. u_n+1 = u_n + 3ⁿ⁺¹ - 2 với n ≥ 1

D. u_n+1 = 3u_n + 3ⁿ⁺¹ - 2 với n ≥ 1

Lời giải:

Đáp án: D

Hướng dẫn giải. u_n+1 = 1+ (n+4).3ⁿ⁺¹ = 1 + (n+3).3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹

= 1 + 3ⁿ.(n+3).3 + 3ⁿ⁺¹ = 3[1 + (n+ 3).3ⁿ] + 3ⁿ⁺¹ – 2 = 3u_n + 3ⁿ⁺¹ -2

Đáp án là D

Bài 4: Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?

A. Đúng

B. Sai

C. Không đúng không sai

D. Vừa đúng vừa sai

Lời giải:

Đáp án: B

Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

Bài 5: Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x) = xⁿ + 1/xⁿ .

A. T(n,x) là số vô tỉ

B. T(n,x) là số không nguyên

C. T(n,x) là số nguyên

D. Các kết luận trên đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có

Ta sẽ chứng minh T(1,x) là số nguyên

Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, ta có:

Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1

Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên

Ta có:

Theo giả thuyết quy nạp, ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên

Bài 6: Với mọi số nguyên dương n, tổng S_n=n³+11n chia hết cho:

Với mọi số nguyên dương n, tổng S_n=n³+11n chia hết cho:

A. 6        B. 4        C. 9        D. 12

Lời giải:

Đáp án: A

Dễ dàng tìm được đáp án n = 6

Bài 7: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. k > p        B. k chia hết cho π

C. k = p        D. k < p

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Bài 8: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

- Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p

- Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Trong hai bước trên:

A. Chỉ có bước 1 đúng.        B. Chỉ có bước 2 đúng.

C. Cả hai bước đều đúng.        D. Cả hai bước đều sai.

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Bài 9: Một học sinh chứng minh mệnh đề "8ⁿ+1 chia hết cho 7 mọi n ∈ ¥" (*) như sau:

- Giả sử đúng với n = k, tức là 8ⁿ+1 chia hết cho 7

- Ta có: 8^k+1+1=8(8^k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8^k+1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^k+1+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Lời giải:

Đáp án: D

Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7. Chọn D.

Bài 10: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

A. n = 1        B. n = p        C. n > p        D. n ≥ p

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi Tốt nghiệp THPT khác:

• Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học
• Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số
• Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số
• Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
• Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
• Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng

---

---

---