Phương pháp quy nạp toán học - Toán lớp 11



Phương pháp quy nạp toán học

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)=Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥ n0 ,n0 ∈ ¥ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) rồi chứng minh P(n0 )= Q(n0)

Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0 ,k ∈ ¥, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= (n(n+1))/2

Đặt P(n) = 1+2+3+...+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ ¥.

Bước 1: Với n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1

⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ 1 ,k ∈ ¥. tức là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Thật vậy:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2

♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1

Suy ra đẳng thức cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ ¥. tức là:

1+3+5+⋯+2k-1=k2 (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là:

1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (2)

Thật vậy: VT(2) = 1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2 =VP(2)

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n = 1.

Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

♦ Với n = 1 ta có đẳng thức cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng.

⇒ Đẳng thức cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức cho đúng với =k ≥ 1 , tức là :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Thật vậy, ta có :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta chứng minh:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)2

⇒ 3 > 1 (luôn đúng)

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số học và hình học

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP

⇒ Đẳng thức cho đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k ≥ 1, tức là

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Thật vậy:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

⇒ (1) đúng đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức:

|sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I

Lời giải:

Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức cho đúng

Gợi ý:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức cho đúng.

* Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1,tức là :

|sin⁡(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2)

Thật vậy:

|sin⁡(k+1)α|=|sinkα.cosα+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| ≤ |sinkα|+|sinα| ≤ k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα|

Vậy đẳng thức cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7n+3n-1 luôn chia hết cho 9

Lời giải:

* Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9

* Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9

Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)

Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9

Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º.

Lời giải:

* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º

* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+n-k-1)180º=(n-2)180º.

Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3..

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp