Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số - Toán lớp 11



Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy tăng nếu un < un+1 ∀n ∈ ¥

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu un > un+1 ∀n ∈ ¥

2. Dãy số bị chặn

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho un < M ∀n ∈ ¥.

    ♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho un > m∀n ∈ ¥..

    ♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un | < M ∀n ∈ ¥..

    ♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét : kn=(un+1-un)

        * Nếu kn > 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) tăng

        * Nếu kn < 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) giảm.

Khi un > 0 ∀n ∈ ¥ ta có thể xét Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

        * Nếu tn > 1 ⇒ dãy số (un) tăng

        * Nếu tn < 1 ⇒ dãy số (un) giảm

    ♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy un là dãy giảm và bị chặn.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án và hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un > 1∀n ≥ 1

Thật vậy:

Với n = 1 ⇒ u1=2 > 1

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Theo nguyên lí quy nạp ta có un > 1 ∀n ≥ 1

Suy ra un-un-1 < 0 ⇔ un < un-1 ∀n ≥ 2 hay dãy (un) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: 1 < un < u1=2∀n ≥ 1

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

Bài 2: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: u1 < u2 < u3.

* Giả sử uk-1 < uk ∀k ≥ 2, ta chứng minh uk+1 > uk.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy (un) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un < 4 ∀n , hơn nữa un > 0

Nên dãy (un) là dãy bị chặn.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

1. Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

nên dãy (un) là dãy tăng

2. Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Nên dãy (un) giảm.

Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) , biết:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

1. Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

với mọi n ≥ 1.

Suy ra u(n+1) > un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy tăng.

Mặt khác:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

2. Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Ta có: un > 0 ∀n ≥ 1

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

⇒ u(n+1) < un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un) là dãy bị chặn.

Bài 3: Cho dãy số (un):

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy

b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

Lời giải:

a) Với a = 4 ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là

u1=6; u2=10/3; u3=14/5; u4=18/7; u5=22/9.

b) Ta có dãy số un tăng khi và chỉ khi

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

⇒ -a-4 > 0 ⇒ a < -4

Bài 4: Cho dãy số (un)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh un=3(n-1)+1;n=1,2…

Lời giải:

a) Ta có: u1=2;u2=4;u3=10;u4=28;u5=82;u6=244.

b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau

Ta có: un-1=3(u(n-1)-1)=32 (u(n-2)-1)=⋯=3(n-1) (u1-1)

Suy ra: un-1=3(n-1) ⇒ un=1+3(n-1).

Bài 5: Cho dãy số un=-5(n-1)+3n+n+2;n=1,2…

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh rằng: un=2u(n-1)+3(n-1)-n.

Lời giải:

Với mọi n = Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Suy ra un < u0-n+1=2012-n

Do đó: 2011 – n < un < 2012-n ⇒ [ un ]=2011-n

với n = Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vì u0=2011 và Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Nên [u0 ]=2011-0,[u1 ]=2011-1

Vậy [un ]=2011-n,n = Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp