Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm - Toán lớp 11



Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua điểm M(x1; y1)

Cách 1 :

- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :

y = k( x – x1) + y1.

- (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N(x0; y0) khi hệ:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó nghiệm xo

Cách 2 :

- Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0.

- (d) đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0'(x1 – x0) + y0     (*)

- Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N(x0; y0) , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 6x2 – 6x

Gọi M(x0; y0)∈(C)⇔ y0 = 2x03 - 3x02 + 5 và y'(x0) = 6x02 - 6x0

Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng:

      y – y0 = y’(x0)(x – x0)

⇔ y - 2x03 + 3x02 - 5 = (6x02 - 6x0)(x - x0 )

⇔ (6x02- 6x0)x - 4x03 + 3x03 + 5 = y

A ∈ Δ ⇔4 =(6x02 - 6x0).(19/12) - 4x03 + 3x03 + 5

⇔8x03 - 25x02 + 19x0 - 2 = 0

⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8

Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4

Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x - 15

Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = (-21/32)x + 645/128

Bài 2: Cho hàm số: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đồ thị là (C) và điểm A(0; m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R\{1}

Gọi điểm M(x0; y0).

Ta có y’ = -3/(x-1)2

Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vì tiếp tuyến qua A(0; m) nên ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Khi đó:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.

Hướng dẫn:

Ta có: y' = 3x2 - 4x + m-1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y =(3a2-4a+m-1)(x-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m

Vì M ∈ Δ ⇔2 = (3a2-4a+m-1)(1-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m

⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0      (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1)

Xét hàm số: h(t) = 2t3+5t2-4t,   t∈R.

Ta có: h’(t) = 6t2+10t-4. Cho h’(t) = 0 ⇒Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bảng biến thiên

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án là những giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3-2x2+3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Hướng dẫn:

Ta có: y' = x2-4x+3. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x

Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3

Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6;4)

Hướng dẫn:

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x - 1/2

Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánbiết d đi qua điểm A(-6; 5)

Hướng dẫn:

Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6) + 2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2x2 + x + 4 đi qua điểm M( -4; -24)

Hướng dẫn:

Ta có: y' = 3x2-4x+1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y = (3a2-4a+1)(x-a)+a3-2a2+a+4

Vì A(-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2-4a+1)(-4-a)+a3-2a2+a+4

⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133(x+6)-240 = 133x+508

Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x-2)+6 = 5x-10

Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8(x+1)+2 = 8x+10

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ántiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 5) là

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: B

Chọn B

Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6)+2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án là:

A. y = -28x + 59; y = x + 1

B. y = -24x + 51; y = x + 1

C. y = -28x + 59

D. y = - 28x + 59; y = -24x + 51

Đáp án: C

Chọn C

Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = 3/2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -28(x-3/2) + 17 = -28x + 59

Bài 3: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 1; 0) là:

A.y = (3/4)x

B. y = (3/4)(x+1)

C. y = 3(x + 1)

D. y = 3x + 1

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi d là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k

Vì A(-1; 0) ∈ d suy ra d: y = k(x + 1) = kx + k

d tiếp xúc với (C) khi hệ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được x = 1, suy ra k = y’(1) = 3/4

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(-1; 0) là: y = (3/4)(x+1)

Bài 4: Qua điểm A(0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2

A. 2                B. 3                C. 0                D. 1

Đáp án: B

Chọn B.

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.

Vì A(0; 2) ∈ d nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó nghiệm

Thay (2) và (1) ta suy ra được : Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 5: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 có đồ thị (C). Xét hai mệnh đề:

(I) Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với (C) tại M(-1; 1) và tại N(1; 1)

(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Cả hai đều sai

D. Cả hai đều đúng

Đáp án: D

Chọn đáp án D

Ta có y’(-1) = y’(1) = 0 ⇒ (I) đúng

Ta có y’(0) = 0 ⇒ (II) đúng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – 1 có đồ thị là (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C):

A. 2                B. 1                C. 3                D. 0

Đáp án: B

Chọn đáp án B.

Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng d: y = k(x – 2)

d là tiếp tuyến của (C)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k. Vậy có một tiếp tuyến.

Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng

A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2

D.3 hoặc -3

Đáp án: B

Chọn B.

Đường thẳng y = 3x + m và đồ thị hàm số y = x3 + 2 tiếp xúc nhau

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?

A. m = -3                B. m = 3                C. m = -1                D. m = 2

Đáp án: A

Chọn A

Đường thẳng y = 5 và đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc nhau

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

+ Với x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn

+ Với x = 2m/3 thay vào (1) ta có: m3 = -27⇔ m = -3

Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 biết nó đi qua điểm M(2; 0) là:

A. y = 27x ± 54

B. y = 27x – 9; y = 27x – 2

C. y = 27x ± 27

D. y = 0; y = 27x – 54

Đáp án: D

Chọn D.

+ y’ = 3x2

+ Gọi A(a ; b) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:

y = 3a2(x – a) + a3    (d)

+ Vì tiếp tuyến (d) đí qua M(2 ; 0) nên ta có phương trình:

0 = 3a2(2 – a) + a3Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

+ Với a = 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 0

+ Với a = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 27x – 54

Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:

A. M(4; 12)             B. M(- 4; 12)             C. M(-4; - 12)             D. M( 4; - 12)

Đáp án: D

Đáp án D

Đường thẳng d: y = 3x + m tiếp xúc với (C) ⇒ d là tiếp tuyến với (C) tại A(a; b)

y’ = 2x – 5

y’(a) = 3 ⇒ a = 4, b = -12

Bài 11: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y = -x + 1 và y = x – 3

B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3

C. y = -x – 1 và y = - x + 3

D. y = x + 1 và y = - x – 3

Đáp án: A

Chọn A

Gọi N(a;b) là tiếp điểm

y’ = x/2 - 1

Phương trình tiếp tuyến tại N là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Mà tiếp tuyến đi qua M(2; -1)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến là : y = -x + 1

Với a = 4. Phương trình tiếp tuyến : y = x – 3

Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N(0; 1).

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: C

Chọn C

Gọi M(a; b) là tiếp điểm

Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 6

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (3a2+6a-6)(x-a)+a3+3a2-6a+1

Vì tiếp tuyến đi qua N(0; 1) nên ta có:

1 = (3a2+6a-6)(0-a)+a3+3a2-6a+1

⇔ 2a3+3a2 = 0

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

a = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = -6x + 1

a = -3/2. Phương trình tiếp tuyến: y = (-33/4)x + 1

Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; 3).

A. y = -6x – 2

B. y = -6x – 9

C. y = -6x – 3

D. y = -6x – 8

Đáp án: C

Chọn C

Ta có: y’ = 4x3 + 2x. Gọi M(a; b) là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (4a3+2a)(x-a)+a4+a2+1

Vì tiếp tuyến đi qua M(-1; 3) nên ta có:

3 = (4a3+2a)(-1-a)+a4+a2+1

⇔3a4+4a3+a2+2a+2 = 0

⇔(a+1)2(3a2-2a+2) = 0

⇔ a = -1

Phương trình tiếp tuyến: y = -6x – 3

Bài 14: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánViết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 3)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: D

Chọn D

Hàm số xác định với mọi x ≠ 1. Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi M(a; b) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

+ a = 7. Phương trình tiếp tuyến y = (-1/9)x + 31/9

+ a = - 3. Phương trình tiếp tuyến y = (-1/4)x - 1/4

Bài 15: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A( - 7; 5).

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: D

Chọn D

Ta có Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Gọi M(a; b) là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A(-7; 5) nên ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


dao-ham.jsp