Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm - Toán lớp 11



Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại xo. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xothì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’(xo)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo)) có dạng :

y = f’(xo)(x-xo) + f(xo)

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo))

Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xo;f(xo)) là:

y = f’(xo)(x-xo)+f(xo)        (1)

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo

Giải:

Tính yo = f(xo) và f’(xo). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:

y = f’(xo)(x-xo) + yo

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng yo

Giải. Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm

Giải phương trình f(x) = yo ta tìm được các nghiệm xo.

Tính y’(xo) và thay vào phương trình (1)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = x3+3x2+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1. Tại điểm M( -1;3)

2. Tại điểm có hoành độ bằng 2

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 3x2 + 6x

1. Ta có: y’(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:

y = -3.(x + 1) + 3 = - 3x

2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21

Tương tự câu 1, phương trình là:

y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27

Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( - 4, 5) là y = 4x + 21

Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1

Hướng dẫn:

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có xo = 1 ⇒ yo = - 1

y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6.

Từ đó suy ra y’(1) = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) – 1 = 3x – 4

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x4 – 4x2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1

Hướng dẫn:

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có yo = 1 ⇒ 2xo4 - 4xo2 + 1 = 1 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có y’ = 8x3 – 8x

Với M(0;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0

Với M(√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√2 (x - √2) + 1 = 8√2x – 15

Với M(-√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√2 (x + √2) + 1 = - 8√2x – 15

Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm là M(0,1).

Hướng dẫn:

y’ = 3x2 – 3.

y’(0) = - 3.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3

Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x2 = 1.

Hướng dẫn:

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

xo2 = 1 ⇔ xo = ±1

Ta có: y’ = 4x3 + 2x

Với M(1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6(x – 1) + 3 = 6x – 3

Với M( -1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6(x + 1) + 3 = -6x – 3

Bài 7: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ xo = 0 đi qua A(4;3)

Hướng dẫn:

x = 0 ⇒ y = - m – 1

Ta có Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Từ đó suy ra y’(0) = - m – 3

Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1.

Tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có:

3 = 4( - m – 3) – m – 1 ⇔ m = 16/5

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C) và điểm Mo(xo ; f(xo)) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo là:

A. y = f'(x)(x-xo )+yo

B. y = f'(xo )(x-xo )

C. y - yo = f'(xo)(x-xo )

D. y - yo = f'(xo )x

Đáp án: C

Chọn C

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y = - 8x + 4

B. y = 9x + 18

C. y = -4x + 4

D. y = 9x – 18

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có xo = 2 ⇒ yo = 0.

y = (x + 1)2(x – 2) = x3 – 3x – 3 nên y’ = 3x2 – 3

Từ đó suy ra y’(2) = 9

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x – 2) = 9x – 18

Bài 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x(3 – x)2 tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y = -3x + 8

B. y = -3x + 6

C. y = 3x – 8

D. y = 3x – 6

Đáp án: A

Chọn A.

Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có xo = 2 ⇒ yo = 2

y = (3 – x)2x = x3 – 6x2 + 9x nên y’ = 3x2 – 12x + 9

Từ đó suy ra y’(2) = - 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3(x – 2) + 2 = -3x + 8

Bài 4: Cho đường cong (C): y = x2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( -1; 1) là

A. y = -2x + 1.

B. y = 2x + 1.

C. y = -2x - 1.

D. y = 2x – 1.

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có y = x2 nên y’ = 2x

Từ đó suy ra y’(-1) = -2

Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm là : y = -2(x + 1) +1 = -2x – 1

Bài 5: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Phương trình tiếp tuyến tại A(1; -2) là

A. y = - 4( x – 1) – 2

B. y = - 5( x – 1) + 2

C. y = - 5( x – 1) – 2

D. y = -3(x – 1) – 2

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5(x – 1) – 2 = -5x + 3

Bài 6: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Phương trình tiếp tuyến tại A(0 ; 2) là:

A. y = 7x + 2

B. y = 7x - 2

C. y = - 7x + 2

D. y = - 7x - 2

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có : y’ = x2 – 6x + 7

Hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại A(0 ; 2): y = 7x + 2.

Bài 7: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A. y = - x + 3

B. y = - x - 3

C. y = 4x – 1

D. y = 11x + 3

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có : (P) cắt trục tung tại điểm M(0 ; 3)

y’ = 4x – 1

Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = - 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M(0 ;3) là y = -x + 3

Bài 8: Đồ thị (C) của hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:

A. y = - 4x – 1.

B. y = 4x – 1.

C. y = 5x – 1.

D. y = - 5x – 1.

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có : điểm A(0 ; -1)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến y’(0) = -4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0 ; -1) là :

y = -4x – 1

Bài 9: Cho hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.

B. y = 3x + 1.

C. y = - 2x + 4.

D. y = 2x.

Đáp án: C

Chọn C

Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0). Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -2(x – 2) = -2x + 4

Bài 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x3 – 2x2 + 3x tại điểm có hoành độ xo = -1 là:

A. y = 10x + 4

B. y = 10x – 5

C. y = 2x – 4

D. y = 2x – 5

Đáp án: A

Chọn A.

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 4x + 3

y’(-1) = 10, y(-1) = - 6

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = 10(x + 1) – 6 = 10x + 4

Bài 11: Gọi (H) là đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại các giao điểm của (H) với hai trục toạ độ là:

A. y = x – 1

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

C. y = - x + 1

D. y = x + 1

Đáp án: A

Chọn A.

Tập xác định: D = R\{0}

Đạo hàm: y’ = 1/x2

(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 1 và không cắt trục tung

Ta có y’(1) = 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = x – 1

Bài 12: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H): Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án tại giao điểm của (H) và trục hoành:

A. y = (1/3)(x-1)

B. y = 3x

C. y = x – 3

D. y = 3(x – 1)

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\{-2}

Đạo hàm: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo = 1 nên suy ra y’(1) = 1/3 và y(1) = 0

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = (1/3)(x-1)

Bài 13: Gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại giao điểm của (P) và trục tung là

A. y = -x + 3

B. y = -x - 3

C. y = x - 3

D. y = -3x + 1

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Giao điểm của (P) và trục tung là M(0; 3)

Đạo hàm: y’ = 2x – 1 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là – 1

Phương trình tiếp tuyến tại M(0;3) là y = -x + 3.

Bài 14: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án tại điểm có hoành độ xo = -1 có phương trình là:

A. y = - x + 2

B. y = x + 2

C. y = x – 1

D. y = - x – 3

Đáp án: D

Chọn đáp án D.

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tiếp tuyến tại M(-1; -2) có hệ số góc là k = -1

Phương trình của tiếp tuyến là y = -x – 3

Bài 15: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = -8x – 6

B. y = 8x – 6, y = -8x + 6

C. y = 8x – 8, y = -8x + 8

D. y = 40x – 57

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 4x3 + 4x

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x4 + 2x2 – 1 ⇔ Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tại M(1;2). Phương trình tiếp tuyến là y = 8x – 6

Tại N( -1;2). Phương trình tiếp tuyến là y = -8x – 6

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


dao-ham.jsp