2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; x3; ..; xn trên [a; b], tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

* Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); f(x3); ...; f(xn); f(b).

* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì .

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3 – 8x2 + 16x - 9 trên đoạn [1; 3] là:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [1;3]

Ta có đạo hàm y'= 3x2 – 16x + 16

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Do đó 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án B.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [0; 2] là:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [0;2]

Ta có y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1).

Xét trên (0;2) ta có f'(x) = 0 khi x = 1.

Khi đó f(1) = 0; f(0) = 1; f(2)= 9

Do đó 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án D.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(x + 2).(x + 4).(x + 6) + 5 trên nữa khoảng [-4; +∞) là:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên

* Ta có: y = (x2 + 6x).(x2 + 6x + 8) + 5.

Đặt t = x2 + 6x. Khi đó y = t.(t + 8) + 5 = t2 + 8t + 5

* Xét hàm số g(x)= x2 + 6x với x ≥ -4.

Ta có g'(x) = 2x + 6; g'(x) = 0 khi và chỉ khi x = -3

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra t ∈ [-9; +∞)

* Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = h(t)= t2 + 8t + 5 với t ∈ [-9; +∞).

* Ta có h'(t) = 2t + 8

h'(t) = 0 khi t = - 4; 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết trên đoạn [0; 3] là:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nhận xét: Hàm số đã cho liên tục trên [0;3]

Ta có 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

với ∀x ∈ [0;3]; y(0) = -1; y(3) = 1/2

Do đó 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên khoảng (1;+∞) là:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số xác định với (1;+∞)

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên (1;+∞)

Ta có:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Từ bảng biến thiên ta có:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 2: Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x;m) liên tục trên đoạn [a;b]. Tìm m để giá trị nhỏ nhất; giá trị lớn nhất của hàm số thỏa mãn điều kiện T:

Bước 1. Tính y’(x).

+ Nếu y'(x) ≥ 0; ∀x trên đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến trên [a;b]

⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a; hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = b

+ Nếu y'(x) ≤ 0; ∀x trên đoạn [a; b] thì hàm số ngịch biến trên [a; b]

⇒ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = b và đạt giá trị lớn nhất tại x = a.

+ Nếu hàm số không đơn điiệu trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

Giải phương tình y' = 0.

Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b].

Bước 2. Kết hợp với gỉa thiết suy ra giá trị m cần tìm.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số sau trên đoạn [0;1] bằng -4

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m = 1 hoặc m = -1      B. m = 2 hoặc m = -2

C. m = 3 hoặc m = -3      D. m = 4 hoặc m = -4

Đạo hàm

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0;1]

Nên

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Theo giả thiết ta có:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇔ m2 = 9 nên m = 3 hoặc m = -3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] là 0

A. a = 2      B. a = 6

C. a = 0      D. a = 4

Đạo hàm f'(x) = -3x2 - 6x

Xét phương trình:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ta có: 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Theo bài ra:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(với m là tham số thực) thỏa mãn 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 3 < m < 4      B. 1 < m < 4

C. m > 4      D. m < -1

Đạo hàm 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Trường hợp 1.

Với m > -1 suy ra

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết ; ∀x ≠ 1

nên hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Trường hợp 2.

Với m < -1 suy ra

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết ; ∀x ≠ 1

nên hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(với m là tham số thực) thỏa mãn:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. 2 < m < 4      B. 0 < m < 4

C. m < 0      D. m > 4

Đạo hàm 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra hàm số f(x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2] với mọi m ≠ 1.

Khi đó:

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Cho hàm số: 2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m > 1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;4] nhỏ hơn 3.

A. m ∈ (1;3)      B. m ∈ (1;4)

C. m ∈ (1;√5)      D. m ∈ (1;2√5]

Ta có: đạo hàm

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy ta cần có

2 dạng bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12