4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để xét tính đơn điệu của hàm số y= f( x) trên tập xác định ta làm như sau:

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3. Tìm nghiệm của y' = 0 hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên.

Bước 5. Kết luận.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x - 10

Ta có đạo hàm: y' = 3x2 - 6x - 9

Giải y' = 0 hay 3x2 - 6x - 9 = 0 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dựa vào bẳng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

Quảng cáo

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

TXĐ: D = R\{-1}.

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Giải y' = 0

⇒ x2 + 2x - 8 = 0 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

y' không xác định khi x = -1. Bảng biến thiên:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (-1;2)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (2; +∞)

Ví dụ 3: Cho hàm số 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Xét tính đơn điệu của hàm số?

Điều kiện: 3x2 - x3 > 0 suy ra D = (-∞; 3].

Đạo hàm 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết , ∀x ∈ (-∞;3)

Giải y' = 0 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

y' không xác định khi 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;3) và (3;+∞)

Hàm số đồng biến trên (0;2).

Ví dụ 4: Cho hàm số y = |x + 1|(x - 2). Xét tính đơn điệu của hàm số?

Ta có:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra đạo hàm:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Phương trình y' = 0 có nghiệm x = 1/2

Bảng biến thiên:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

+ Hàm số đồng biến khi (-∞;-1) và (1/2; ∞)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1/2).

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Xét tính đơn điệu của hàm số

Ta có: Đạo hàm y' = 4x3 – 4x

Phương trình y' = 0 khi 4x3 – 4x = 0

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (0;1).

Ví dụ 6: Xét tính đơn điệu của hàm số: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bảng biến thiên:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên tập xác định.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên R (tập xác định).

I. Phương pháp giải

* Hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c

• Hàm đa thức bậc ba đồng biến trên R khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Hàm đa thức bậc ba nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Hàm phân thức bậc nhất 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đạo hàm 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

và hàm số xác định với mọi x ≠ -d/c

• Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y' > 0 hay ad - bc > 0

• Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi y' < 0 hay ad – bc < 0

* Chú ý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ta có:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m + 2).x3/3 - (m + 2)x2 + (m - 8)x + m2 - 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên R

A. m < -2      B. m > -2

C. m ≤ -2      D. m ≥ -2

Ta có đạo hàm: y' = (m + 2)x2 - 2(m + 2)x + m - 8.

Yêu cầu bài toán ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ R (y' = 0 có hữu hạn nghiệm)

TH1: m + 2 = 0 hay m = -2, khi đó y' = -10 ≤ 0, ∀x ∈ (thỏa mãn).

TH2:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Kết hợp hai trường hợp ta được m ≤ -2

Suy ra chọn đáp án C.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết đồng biến trên tập xác định.

A. m > 4      B. m < 4

C. m > -4      D. m < -4

Điều kiện: x ≠ -2

Ta có đạo hàm: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi: y' > 0; ∀ ∈ R\{2}

Hay 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì m < -4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định.

A. m > 4      B. m < 4

C. m ≥ 4      D. m < -4

+ Tập xác định D = R\{1}.

+ Đặt f(x) = x2 + mx + 3. Điều kiện để hàm số không bị suy biến là:

f(1) ≠ 0 hay 12 + m.1 + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -4

+ Đạo hàm:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Và phương trình y' = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm.

Mà x2 - 2x - m - 3 ≥ 0 khi và chỉ khi: Δ' = (-1)2 - (-m - 3).1 ≤ 0

Kết hợp với điều kiện; suy ra để hàm số đồng biến trên tập xác định thì m < -4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx3 – 6x2 + 3mx – 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

A. m > -2      B. m < -2 hoặc m > 2

C. m < 2      D. -2 < m < 2

* Nếu m = 0 ta có: y = -6x2 - 1.

Đạo hàm y' = -12x. Đạo hàm y' đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 0

⇒ Hàm số không đồng biến trên R khi m = 0.

* Nếu m ≠ 0 thì y' = 3mx2 - 12x + 3m. Để hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

Δ' ≤ 0 ⇔ (-6)2 - 9m2 ≤ 0 ⇔ m < -2 hoặc m > 2.

⇔ m < -2 hoặc m > 2

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì m < -2 hoặc m > 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3.1: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số.

I. Phương pháp giải

• Bước 1. Tính đạo hàm y'

Hàm số đồng biến trên khoảng K ⇔ y' ≥ 0, ∀x ∈ K (1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng K ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ K (2)

• Bước 2. Từ bất phương trình (1) (hoặc (2)) đưa bất phương trình về dạng m ≥ f(x) hoặc m ≤ g(x)

• Bước 3. Xét chiều biến thiên của hàm số trên khoảng K.

• Bước 4. Kết luận.

m ≥ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≥ max g(x) (x ∈ K)

m ≤ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≤ min g(x) (x ∈ K)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2 + (1 - 2m)x - 1 đồng biến trên (1; +∞) ?

A. m > 1/2      B. m ≥ 1/2

C. m < 3/2      D. m ≤ -1/2

Tập xác định D = R.

* Đạo hàm: y' = x2 – 2mx + 1 - 2m

* Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞) ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)

Hay ∀x ∈ (1; +∞) thì y' = x2 - 2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(vì khi x > 1 thì x + 1 > 0) (*)

* Xét hàm số: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ta có: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ hàm số đồng biến trên (1; ∞) nên f(x) > f(1) = 1 (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2m > 1 ⇔ m > 1/2

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx3 – x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3; 0)

A. m > 1/2      B. m < -2/3

C. m < -1/3      D. m > -1/3

Tập xác định D = R.

* Đạo hàm y' = 3mx2 - 2x + 3

Hàm số đồng biến trên (-3; 0) khi và chỉ khi y'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0) và phương trình y' = 0 có hữu hạn nghiệm trên (-3; 0)

⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0)

⇔ 3mx2 ≥ 2x - 3, ∀x ∈ (-3;0)

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đặt 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ta có: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vì -3 < x < 0 nên -2x + 6 > 0 và 3x3 < 0

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ Hàm số y = g(x) nghịch biến trên (-3; 0) nên g(x) < g(-3) = 1/3 với -3 < x < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m > -1/3

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1;5]

A. m > -1/24      B. m < 2/7

C. m ≥ -1/36      D. m ≤ -1/12

Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để hàm số đã cho đồng biến trên (1; 5] khi và chỉ khi: y' ≥ 0, ∀x ∈ (1;5]

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

+ Xét hàm số 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết trên (1; 5]

Ta có:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ Hàm số đồng biến trên (1;5] nên

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Từ (1) và (2) suy ra để hàm số đồng biến trên (1; 5] thì m ≥ -1/36 (2)

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3.2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng bằng phương pháp tam thức bậc hai.

I. Phương pháp giải

Bước 1. Tìm đạo hàm y’ .

Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K thì y' ≥ 0 (y' ≤ 0) với ∀x ∈ K và phương trình y' = 0 có hữu hạn nghiệm.

Bước 2. Giải bất phương trình để luôn đúng với mọi x thuộc K.

Bước 3. Kết luận

* Chú ý:

+ Hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

⇒ Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

• Nếu a > 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Nếu a < 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

+ Hàm phân thức 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số có đạo hàm 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Hàm số đồng biến trên khoảng K nếu ad - bc > 0 và -d/c ∉ K.

• Hàm số nghịch biến trên khoảng K nếu ad - bc < 0 và -d/c ∉ K.

+ Hàm phân thức 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bước 1.

Tính đạo hàm 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Bước 2.

+ Để hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

+ Để hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Chú ý: f(x) là một tam thức bậc hai; sử dụng tính chất nghiệm của tam thức bậc hai để giải hệ trên.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2).x + 2m(2m - 1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên [2;+∞)

A. m < 5      B. -2 ≤ m ≤ 3/2

C. m > -2      D. m < 3/2

* Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 2(m + 1)x – (2m2 – 3m + 2)

* Xét phương trình y' = 0 có:

Δ' = (m + 1)2 + 3(2m2 - 3m + 2) = 7(m2 - m + 1) > 0, ∀x ∈ R

Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm x1 > x2 với mọi m.

* Để hàm số đồng biến trên [2;+∞) ⇔ phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 ≤ 2

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x nghịch biến trên đoạn [0; 1]

A. m < 0      B. -1 < m < 0

C. -1 ≤ m ≤ 0      D. m > -1

* Đạo hàm: y' = 3x2 - 6(m + 1)x + 3m(m + 2) = 3[x2 – 2(m + 1)x + m(m + 2)]

Ta có: Δ' = (m + 1)2 - m(m + 2) = 1 > 0, ∀x ∈ R.

Do đó y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = m; x = m + 2

Bảng biến thiên

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên [0; 1] ↔ [0; 1] ⊂ [m; m + 2]

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m2 - 2m)x4 + (4m - m2)x2 - 4. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

A. 0.      B. Vô số.

C. 2.      D. 3.

Ta xét hai trường hợp:

• Hệ số a = m2 - 2m = 0

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hàm số y = 4x2 - 4 có đồ thị là một parabol nghịch biến trên khoảng (-∞; 0), đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Do đó m = 2 thỏa mãn. (Học sinh rất mắc phải sai lầm là không xét trường hợp a = 0)

• Hệ số a = m2 - 2m ≠ 0.

Dựa vào dáng điệu đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu cầu bài toán tương đương với đồ thị thàm số có một cực trị và đó là cực tiểu

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇔ 2 < m ≤ 4 -m ∈ Z→ m = {3;4}

Vậy m = {2; 3; 4}

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nghịch biến trên khoảng (-∞; 2).

A. m > 2      B. m ≥ 1

C. m ≥ 2      D. m > 1

Cách 1.

Điều kiện: x ≠ m

Ta có 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Với -m + 1 < 0 hay m > 1 thì y' < 0 mọi x khác m nên hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng (-∞; m) và (m; +∞).

Theo yêu cầu của bài toán thì (-∞; 2) ⊂ (-∞; m)

⇔ m ≥ 2 (thỏa mãn).

Cách 2. Ta có 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Yêu cầu bài toán:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên khoảng (3; ∞)

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m > 3      B. -2 < m < 1

C. m < -3      D. -3 < m < 3

Điều kiện xác định: x ≠ 2

Đạo hàm:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để hàm số đã cho đồng biến trên (3; +∞) khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 < 3 hoặc y' ≥ 0 với mọi x thuộc tập xác định.

+ Trường hợp 1. y' > 0 với mọi x thuộc tập xác định.

⇔ x2 - 4x - 2m - 3 ≥ 0 với mọi x.

⇔ Δ' = 4 + 2m + 3 ≤ 0

⇔ 7 + 2m ≤ 0 ⇔ m ≤ -7/2

+ Trường hợp 2. Phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 < 3

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Kết hợp hai trường hợp ta có m < -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l.

I. Phương pháp giải

* Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến ( nghịch biến) trên đoạn có độ dài bằng l.

• Bước 1. Tính đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c (*)

• Bước 2. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến; nghịch biến trên đoạn (khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

• Bước 3. Áp dụng hệ thức viet với phương trình (*). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (*)

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

• Bước 4. Biến đổi: để :

|x1 - x2| = l ⇔ x12 + x22 - 2x1.x2 = l2

⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = l2(**)

• Bước 5. Thay (I) vào (**) ta được phương trình ẩn m .

Giải phương trình ta tìm m = ... .

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biết rằng hàm số y = 1/3.x3 + 3(m - 1)x2 + 9x + 1 (với m là số thực) nghịch biến trên khoảng (x1; x2). Tìm tất cả các giá trị của m để |x1 - x2| = 6√3

A. m = -1      B. m = 3

C. m = -3; m = 1      D. m = -1; m = 3.

* Ta có đạo hàm: y' = x2 + 6(m - 1)x + 9.

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình: y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 6√3

* Ta có: Δ' = 3(m - 1)2 - 9 = 3m2 - 6m - 6

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Áp dụng hệ thức Viet ta có:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

*Để |x1 - x2| = 6√3 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 108

[-6(m - 1)2] - 4.9 = 108 ⇔ [-6(m - 1)2] = 144

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy có hai gia trị của m thỏa mãn là m = -1 hoặc m = 3.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1.

A. m = -9/4      B. m = 2

C. m ≤ 2      D. m = 9/4

Ta có đạo hàm: y' = 3x2 + 6x + m.

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 1

* Ta có: Δ' = 9 - 3m

Để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ' > 0

⇔ 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3

* Áp dụng hệ thức Viet ta có:

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Để |x1 - x2| = 1 thì (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1

4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(thỏa mãn điều kiện )

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = -x4 + (m + 1)x2 + 3 nghịch biến trên một khoảng (a; 0) và độ dài khoảng này bằng 3.

A. m = -5      B. m = 11

C. m = -12      D. m = 17

* Ta có đạo hàm: y' = -4x3 + 2(m + 1).x = 2x(-2x2 + m + 1)

y' = 0 khi và chỉ khi: 4 dạng bài Tính đơn điệu của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Để hàm số đã cho nghịch biến trên (x1; x2) thì phương trình -2x2 + m + 1 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:

⇔ Δ' > 0 ⇔ 2(m + 1) > 0 ⇔ m > -1

Ta có x1 + x2 = 0 nên hai nghiệm này trái dấu nhau.

Giả sử x1 < 0 < x2. Khi đó, hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1; 0) và (x2; +∞)

Từ giả thiết suy ra độ dài khoảng (x1; 0) nên x1 = -3

⇒ Phương trình -2x2 + m + 1 = 0 có một nghiệm là -3.

⇒ - 2.(-3)2 + m + 1 = 0 nên m = 17 (thỏa mãn) .

Vậy giá trị m cần tìm là m = 17.

Suy ra chọn đáp án D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12