(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bài viết Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp môn Toán với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính đơn điệu của hàm số.

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để xét tính đơn điệu của hàm số y= f( x) trên tập xác định ta làm như sau:

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3. Tìm nghiệm của y' = 0 hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên.

Bước 5. Kết luận.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x - 10

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 3x2 - 6x - 9

Giải y' = 0 hay 3x2 - 6x - 9 = 0 (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bẳng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Lời giải:

TXĐ: D = R\{-1}.

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Giải y' = 0

⇒ x2 + 2x - 8 = 0 (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

y' không xác định khi x = -1. Bảng biến thiên:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (-1;2)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (2; +∞)

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hàm số (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Xét tính đơn điệu của hàm số?

Lời giải:

Điều kiện: 3x2 - x3 > 0 suy ra D = (-∞; 3].

Đạo hàm (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) , ∀x ∈ (-∞;3)

Giải y' = 0 (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

y' không xác định khi (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;3) và (3;+∞)

Hàm số đồng biến trên (0;2).

Ví dụ 4: Cho hàm số y = |x + 1|(x - 2). Xét tính đơn điệu của hàm số?

Lời giải:

Ta có:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Suy ra đạo hàm:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Phương trình y' = 0 có nghiệm x = 1/2

Bảng biến thiên:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

+ Hàm số đồng biến khi (-∞;-1) và (1/2; ∞)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1/2).

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Xét tính đơn điệu của hàm số

Lời giải:

Ta có: Đạo hàm y' = 4x3 – 4x

Phương trình y' = 0 khi 4x3 – 4x = 0

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (0;1).

Ví dụ 6: Xét tính đơn điệu của hàm số: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số đồng biến trên tập xác định.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên R (tập xác định).

I. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c

• Hàm đa thức bậc ba đồng biến trên R khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

• Hàm đa thức bậc ba nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

* Hàm phân thức bậc nhất (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Đạo hàm (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

và hàm số xác định với mọi x ≠ -d/c

• Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y' > 0 hay ad - bc > 0

• Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi y' < 0 hay ad – bc < 0

* Chú ý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ta có:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m + 2).x3/3 - (m + 2)x2 + (m - 8)x + m2 - 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên R

A. m < -2      B. m > -2

C. m ≤ -2      D. m ≥ -2

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = (m + 2)x2 - 2(m + 2)x + m - 8.

Yêu cầu bài toán ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ R (y' = 0 có hữu hạn nghiệm)

TH1: m + 2 = 0 hay m = -2, khi đó y' = -10 ≤ 0, ∀x ∈ (thỏa mãn).

TH2:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Kết hợp hai trường hợp ta được m ≤ -2

Suy ra chọn đáp án C.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) đồng biến trên tập xác định.

A. m > 4      B. m < 4

C. m > -4      D. m < -4

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ -2

Ta có đạo hàm: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi: y' > 0; ∀ ∈ R\{2}

Hay (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì m < -4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định.

A. m > 4      B. m < 4

C. m ≥ 4      D. m < -4

Lời giải:

+ Tập xác định D = R\{1}.

+ Đặt f(x) = x2 + mx + 3. Điều kiện để hàm số không bị suy biến là:

f(1) ≠ 0 hay 12 + m.1 + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -4

+ Đạo hàm:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Và phương trình y' = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm.

Mà x2 - 2x - m - 3 ≥ 0 khi và chỉ khi: Δ' = (-1)2 - (-m - 3).1 ≤ 0

Kết hợp với điều kiện; suy ra để hàm số đồng biến trên tập xác định thì m < -4.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx3 – 6x2 + 3mx – 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

A. m > -2      B. m < -2 hoặc m > 2

C. m < 2      D. -2 < m < 2

Lời giải:

* Nếu m = 0 ta có: y = -6x2 - 1.

Đạo hàm y' = -12x. Đạo hàm y' đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 0

⇒ Hàm số không đồng biến trên R khi m = 0.

* Nếu m ≠ 0 thì y' = 3mx2 - 12x + 3m. Để hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

Δ' ≤ 0 ⇔ (-6)2 - 9m2 ≤ 0 ⇔ m < -2 hoặc m > 2.

⇔ m < -2 hoặc m > 2

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì m < -2 hoặc m > 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3.1: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số.

I. Phương pháp giải

• Bước 1. Tính đạo hàm y'

Hàm số đồng biến trên khoảng K ⇔ y' ≥ 0, ∀x ∈ K (1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng K ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ K (2)

• Bước 2. Từ bất phương trình (1) (hoặc (2)) đưa bất phương trình về dạng m ≥ f(x) hoặc m ≤ g(x)

• Bước 3. Xét chiều biến thiên của hàm số trên khoảng K.

• Bước 4. Kết luận.

m ≥ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≥ max g(x) (x ∈ K)

m ≤ g(x), ∀x ∈ K ⇔ m ≤ min g(x) (x ∈ K)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2 + (1 - 2m)x - 1 đồng biến trên (1; +∞) ?

A. m > 1/2      B. m ≥ 1/2

C. m < 3/2      D. m ≤ -1/2

Lời giải:

Tập xác định D = R.

* Đạo hàm: y' = x2 – 2mx + 1 - 2m

* Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞) ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)

Hay ∀x ∈ (1; +∞) thì y' = x2 - 2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

(vì khi x > 1 thì x + 1 > 0) (*)

* Xét hàm số: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Ta có: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

⇒ hàm số đồng biến trên (1; ∞) nên f(x) > f(1) = 1 (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2m > 1 ⇔ m > 1/2

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx3 – x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3; 0)

A. m > 1/2      B. m < -2/3

C. m < -1/3      D. m > -1/3

Lời giải:

Tập xác định D = R.

* Đạo hàm y' = 3mx2 - 2x + 3

Hàm số đồng biến trên (-3; 0) khi và chỉ khi y'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0) và phương trình y' = 0 có hữu hạn nghiệm trên (-3; 0)

⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (-3;0)

⇔ 3mx2 ≥ 2x - 3, ∀x ∈ (-3;0)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Đặt (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Ta có: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vì -3 < x < 0 nên -2x + 6 > 0 và 3x3 < 0

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

⇒ Hàm số y = g(x) nghịch biến trên (-3; 0) nên g(x) < g(-3) = 1/3 với -3 < x < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m > -1/3

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho hàm số: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1;5]

A. m > -1/24      B. m < 2/7

C. m ≥ -1/36      D. m ≤ -1/12

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ -1

Đạo hàm (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Để hàm số đã cho đồng biến trên (1; 5] khi và chỉ khi: y' ≥ 0, ∀x ∈ (1;5]

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

+ Xét hàm số (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) trên (1; 5]

Ta có:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

⇒ Hàm số đồng biến trên (1;5] nên

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

* Từ (1) và (2) suy ra để hàm số đồng biến trên (1; 5] thì m ≥ -1/36 (2)

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3.2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng bằng phương pháp tam thức bậc hai.

I. Phương pháp giải

Bước 1. Tìm đạo hàm y’ .

Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K thì y' ≥ 0 (y' ≤ 0) với ∀x ∈ K và phương trình y' = 0 có hữu hạn nghiệm.

Bước 2. Giải bất phương trình để luôn đúng với mọi x thuộc K.

Bước 3. Kết luận

* Chú ý:

+ Hàm đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

⇒ Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

• Nếu a > 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

• Nếu a < 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

+ Hàm phân thức (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số có đạo hàm (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

• Hàm số đồng biến trên khoảng K nếu ad - bc > 0 và -d/c ∉ K.

• Hàm số nghịch biến trên khoảng K nếu ad - bc < 0 và -d/c ∉ K.

+ Hàm phân thức (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bước 1.

Tính đạo hàm (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bước 2.

+ Để hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

+ Để hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Chú ý: f(x) là một tam thức bậc hai; sử dụng tính chất nghiệm của tam thức bậc hai để giải hệ trên.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2).x + 2m(2m - 1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên [2;+∞)

A. m < 5      B. -2 ≤ m ≤ 3/2

C. m > -2      D. m < 3/2

Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 2(m + 1)x – (2m2 – 3m + 2)

* Xét phương trình y' = 0 có:

Δ' = (m + 1)2 + 3(2m2 - 3m + 2) = 7(m2 - m + 1) > 0, ∀x ∈ R

Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm x1 > x2 với mọi m.

* Để hàm số đồng biến trên [2;+∞) ⇔ phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 ≤ 2

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x nghịch biến trên đoạn [0; 1]

A. m < 0      B. -1 < m < 0

C. -1 ≤ m ≤ 0      D. m > -1

Lời giải:

* Đạo hàm: y' = 3x2 - 6(m + 1)x + 3m(m + 2) = 3[x2 – 2(m + 1)x + m(m + 2)]

Ta có: Δ' = (m + 1)2 - m(m + 2) = 1 > 0, ∀x ∈ R.

Do đó y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = m; x = m + 2

Bảng biến thiên

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên [0; 1] ↔ [0; 1] ⊂ [m; m + 2]

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m2 - 2m)x4 + (4m - m2)x2 - 4. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

A. 0.      B. Vô số.

C. 2.      D. 3.

Lời giải:

Ta xét hai trường hợp:

• Hệ số a = m2 - 2m = 0

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số y = 4x2 - 4 có đồ thị là một parabol nghịch biến trên khoảng (-∞; 0), đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Do đó m = 2 thỏa mãn. (Học sinh rất mắc phải sai lầm là không xét trường hợp a = 0)

• Hệ số a = m2 - 2m ≠ 0.

Dựa vào dáng điệu đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu cầu bài toán tương đương với đồ thị thàm số có một cực trị và đó là cực tiểu

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

⇔ 2 < m ≤ 4 -m ∈ Z→ m = {3;4}

Vậy m = {2; 3; 4}

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) nghịch biến trên khoảng (-∞; 2).

A. m > 2      B. m ≥ 1

C. m ≥ 2      D. m > 1

Lời giải:

Cách 1.

Điều kiện: x ≠ m

Ta có (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Với -m + 1 < 0 hay m > 1 thì y' < 0 mọi x khác m nên hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng (-∞; m) và (m; +∞).

Theo yêu cầu của bài toán thì (-∞; 2) ⊂ (-∞; m)

⇔ m ≥ 2 (thỏa mãn).

Cách 2. Ta có (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Yêu cầu bài toán:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên khoảng (3; ∞)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

A. m > 3      B. -2 < m < 1

C. m < -3      D. -3 < m < 3

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2

Đạo hàm:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Để hàm số đã cho đồng biến trên (3; +∞) khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 < 3 hoặc y' ≥ 0 với mọi x thuộc tập xác định.

+ Trường hợp 1. y' > 0 với mọi x thuộc tập xác định.

⇔ x2 - 4x - 2m - 3 ≥ 0 với mọi x.

⇔ Δ' = 4 + 2m + 3 ≤ 0

⇔ 7 + 2m ≤ 0 ⇔ m ≤ -7/2

+ Trường hợp 2. Phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 < 3

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Kết hợp hai trường hợp ta có m < -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l.

I. Phương pháp giải

* Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến ( nghịch biến) trên đoạn có độ dài bằng l.

• Bước 1. Tính đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c (*)

• Bước 2. Tìm điều kiện để hàm số đồng biến; nghịch biến trên đoạn (khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

• Bước 3. Áp dụng hệ thức viet với phương trình (*). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (*)

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

• Bước 4. Biến đổi: để :

|x1 - x2| = l ⇔ x12 + x22 - 2x1.x2 = l2

⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = l2(**)

• Bước 5. Thay (I) vào (**) ta được phương trình ẩn m .

Giải phương trình ta tìm m = ... .

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biết rằng hàm số y = 1/3.x3 + 3(m - 1)x2 + 9x + 1 (với m là số thực) nghịch biến trên khoảng (x1; x2). Tìm tất cả các giá trị của m để |x1 - x2| = 6√3

A. m = -1      B. m = 3

C. m = -3; m = 1      D. m = -1; m = 3.

Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y' = x2 + 6(m - 1)x + 9.

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình: y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 6√3

* Ta có: Δ' = 3(m - 1)2 - 9 = 3m2 - 6m - 6

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

* Áp dụng hệ thức Viet ta có:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

*Để |x1 - x2| = 6√3 ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 108

[-6(m - 1)2] - 4.9 = 108 ⇔ [-6(m - 1)2] = 144

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy có hai gia trị của m thỏa mãn là m = -1 hoặc m = 3.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1.

A. m = -9/4      B. m = 2

C. m ≤ 2      D. m = 9/4

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 3x2 + 6x + m.

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 1

* Ta có: Δ' = 9 - 3m

Để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ' > 0

⇔ 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3

* Áp dụng hệ thức Viet ta có:

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

* Để |x1 - x2| = 1 thì (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1

(4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

(thỏa mãn điều kiện )

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = -x4 + (m + 1)x2 + 3 nghịch biến trên một khoảng (a; 0) và độ dài khoảng này bằng 3.

A. m = -5      B. m = 11

C. m = -12      D. m = 17

Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y' = -4x3 + 2(m + 1).x = 2x(-2x2 + m + 1)

y' = 0 khi và chỉ khi: (4 dạng) Bài tập Tính đơn điệu của hàm số ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

* Để hàm số đã cho nghịch biến trên (x1; x2) thì phương trình -2x2 + m + 1 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:

⇔ Δ' > 0 ⇔ 2(m + 1) > 0 ⇔ m > -1

Ta có x1 + x2 = 0 nên hai nghiệm này trái dấu nhau.

Giả sử x1 < 0 < x2. Khi đó, hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1; 0) và (x2; +∞)

Từ giả thiết suy ra độ dài khoảng (x1; 0) nên x1 = -3

⇒ Phương trình -2x2 + m + 1 = 0 có một nghiệm là -3.

⇒ - 2.(-3)2 + m + 1 = 0 nên m = 17 (thỏa mãn) .

Vậy giá trị m cần tìm là m = 17.

Suy ra chọn đáp án D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học