Dạng bài toán Lãi kép liên tục ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài viết Dạng bài toán Lãi kép liên tục ôn thi THPT Quốc gia với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Dạng bài toán Lãi kép liên tục ôn thi THPT Quốc gia.

Dạng bài toán Lãi kép liên tục ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

1. Phương pháp giải

- Đinh nghĩa.

* Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n ∈ N*) là: S_n = A. (1+ r)ⁿ

* Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là thì số tiền thu được sau n năm là

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞ , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Công thức trên còn gọi là công thức tăng trưởng mũ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Khi đó dự đoán dân số thế giới năm 2020 sẽ là bao nhiêu?

A. 7782 triệu người B.7652 triệu người

C. 7821 triệu người D. 7689 triệu người

Lời giải:

Đáp án: A

Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là

Ví dụ 2. Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?

A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019

Lời giải:

Đáp án: C

Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là

Ví dụ 3. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212 942 000 người. Hỏi dần số của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006 gần với số nào sau đây nhất?

A. 240091000 B.250091000. C.230091000 D.220091000

Lời giải:

Đáp án: A

Áp dụng công thức tăng trưởng dân số P_n = P₀.e^n.r

Với n = 2006 − 1998 = 8; r = 1,5 % và P_o= 212942000

Ta có

Ví dụ 4. Biết rằng tỉ lệ giảm dân hàng năm của Nga là 0, 5%. Năm 1998, dân số của Nga là 146861000 người. Hỏi năm 2008 dân số của Nga gần với số nào sau đây nhất?

A. 135699000. B.139699000. C.140699000. D.145699000

Lời giải:

Đáp án: B

Áp dụng công thức tăng trưởng dân số P_n = P₀.e^n.r

Với n = 2008 − 1998 = 10; r = − 0,5 % và P_o= 146861000

Ta có

Ví dụ 5. Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức P giảm theo công thức P= P₀.e^x.i trong đó P_o= 760 mmHg là áp suất ở mực nước biển ( x = 0 ), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672, 71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000 m gần với số nào sau đây nhất?

A. 530, 23 mmHg. B. 540, 23 mmHg. C. 520,23 mmHg. D. 510, 23 mmHg.

Lời giải:

Đáp án: A

Áp dụng công thức P=P₀. e^x.i với P₀ = 760; x = 1000 thì P = 672,71

Ta tìm được hệ số suy giảm

Vậy với x= 3000 thì

= 527,0558042

Gần với đáp án A nhất.

Ví dụ 6. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S= A. e^rt ,trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất

A. 3 giờ 9 phút B. 3 giờ 2 phút. C. 3 giờ 16 phút. D.3 giờ 30 phút.

Lời giải:

Đáp án: A

Tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của vi khuẩn là

Từ 100 con, để có 200 con ta có:

Ví dụ 7. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức f(t) = A. e^r.t, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần

A. 5ln 20 (giờ). B. 5 (giờ). C. 10log510 (giờ). D. 10log5 20 (giờ).

Lời giải:

Đáp án: C

Số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con.

Áp dụng công thức f(t) = A. e^r.t, ta có 5000 = 1000e^10r

Gọi t là thời gian cần tìm để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.

Do đó:

Ví dụ 8. Áp suất không khí P(đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x( đo bằng mét), tức P giảm theo công thức P = P₀. e^xi trong đó P₀= 760mmHg là áp suất ở mực nước biển ( x=0), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71mmHg . Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000 m gần với số nào sau đây nhất?

A.530,23mm Hg. B.540,23mmHg. C.520,23mmHg. D.510,23 mmHg

Lời giải:

Đáp án: A

Áp dụng công thức P = P₀ e^xi

Ở độ cao 1000m ta có : P₀ = 760mm Hg ; n=1000m ; P=672,71mmHg

Từ giả thiết này ta tìm được hệ số suy giảm i. Ta có

Khi đó ở độ cao 3000 m, áp suất của không khí là :

Ví dụ 9. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S= A.e^rt,trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r>0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất.

A.3 giờ 9 phút. B.3 giờ 2 phút. C.3 giờ 16 phút. D.3 giờ 30 phút.

Lời giải:

Đáp án: A

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này.

Từ giả thiết: 300 = 100.e^5r ⇔ e^5r = 3

Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97 % mỗi giờ.

Ta tìm thời gian để từ 100 con để có 200 con .

Từ công thức: 200= 100.e^rt ⇔ e^rt = 2

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng bài toán lãi đơn có lời giải
• Dạng bài toán lãi kép có lời giải
• Dạng bài toán Tiền gửi ngân hàng có lời giải
• Dạng bài toán Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng có lời giải
• Dạng bài toán Vay vốn trả góp có lời giải
• Các dạng bài toán lãi suất hay có lời giải

---