Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu.

Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 có thể viết lại thành (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = a² + b² + c² – d và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi a² + b² + c² – d > 0. Khi đó, (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$

2. Ví dụ minh họa về điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Ví dụ 1. Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (nếu có).

a) x² + y² + z² – 4x + 10y – 2z + 14 = 0.

b) x² + y² + z² + 2x + 4y – 6z + 20 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x² + y² + z² – 4x + 10y – 2z + 14 = 0.

⇔ x² – 2 . 2 . x + 4 + y² + 2 . 5 . y + 25 + z² – 2 . 1 . z + 1 = 4 + 25 + 1 – 14

⇔ (x – 2)² + (y + 5)² + (z – 1)² = 16.

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2; –5; 1) bán kính $R=\sqrt{16}=4.$

b) Ta có: x² + y² + z² + 2x + 4y – 6z + 20 = 0.

⇔ x² + 2.1.x + 1 + y² + 2.2.y + 4 + z² – 2.3.z + 9 = 1 + 4 + 9 – 20

⇔ (x + 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = –6 < 0.

Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

Ví dụ 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² + 8x – 6y + 2z – 10 = 0.

b) x² + y² + z² + x + y – 6z + 33 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² + y² + z² + 8x – 6y + 2z – 10 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = –4; b = 3; c = –1; d = –10.

Ta có a² + b² + c² – d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(–4; 3; –1), bán kính R = 6.

b) Phương trình x² + y² + z² + x + y – 6z + 33 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a=-\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2};c=3;d=33.$

Ta có $a^2+b^2+c^2-d$$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+9-33$$=-\frac{47}{2}<0.$

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

3. Bài tập về điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² + 4z – 32 = 0.

b) x² + y² + z² + 2x + 2y – 2z + 4 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

$x^2+y^2+z^2+4x-5y+6z+\frac{25}{4}=0.$

Xác định tâm và bán kính của (S).

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x² + y² + z² – 6x – 2y – 4z – 11 = 0 là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện có tiệm cận ngang

• Cách đổi cận trong tích phân

• Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm là gì

• Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x)

• Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng phức

• Khối đa diện là gì

---