Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x).

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Định nghĩa giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b]

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là

$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

2. Ví dụ minh họa về giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b]

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x + 1 liên tục trên đoạn [1; 4]. Tính giá trị trung bình của hàm số đó.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{1}{4-1}\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(2x+1\right)dx$$={\left.\frac{1}{3}\left(2.\frac{1}{2}.x^2+x\right)\right|}_1^4$$={\left.\frac{1}{3}\left(x^2+x\right)\right|}_1^4$$=\frac{1}{3}\left(4^2+4-1^2-1\right)=6.$

Ví dụ 2. Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12.

Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Hướng dẫn giải

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó là:

$\frac{1}{12-6}\underset{6}{\overset{12}{\int }}\left(20+1,5\left(t-6\right)\right)dt$$=\frac{1}{6}\underset{6}{\overset{12}{\int }}\left(1,5t+11\right)dt$$={\left(\frac{1}{6}\left(\frac{3}{4}{t}^2+11t\right)\right)}_6^{12}$$=40-\frac{31}{2}=\frac{49}{2}=24,5°C.$

Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là 24,5°C.

3. Bài tập về giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b]

Bài 1. Tìm giá trị trung bình của các hàm số sau:

a) y = x + 5 trên đoạn [–1; 3].

b) y = 4 – 6x trên đoạn [2; 5].

c) y = x² + x + 1 trên đoạn [0; 1].

Bài 2. Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ

v(t) = 2t − 0,03t² (0 ≤ t ≤ 10),

trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.

Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 10.

Bài 3. Ở nhiệt độ 37°C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L^–1) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức: y’(x) = –7 . 10^–4y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^–1.

a) Xét hàm số f(x) = lny(x) với x ≥ 0. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L^–1) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}y\left(x\right)dx.$ Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

• Cách đổi cận trong tích phân

• Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm là gì

• Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng phức

• Khối đa diện là gì

• Phép chia số phức viết dạng góc

---