Giải phương trình bậc 2 số phức - Toán lớp 12



Giải phương trình bậc 2 số phức

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

Xét Δ = b2 - 4ac, ta có

+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án .

+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Chú ý.

Mọi phương trình bậc n: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (thực hoặc phức).

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

- Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

Với đa thức f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + .... + a1x + ao chia cho x - a có thương là

g(x) = bnxn + bn - 2xn - 2 + .... + b1x + bo dư r

Ví dụ minh họa

an an-1 an-2 a2 a1 ao
a bn-1 = an bn-2 = abn-1 + an-2 bn-3 = abn-2 + an-3 b1 = ab2 + a2 bo = ab1 + a1 r = abo + bo

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0

Hướng dẫn:

Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b2 - 4ac = -3 < 0

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án B

Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z3 - 8 = 0 là :

Hướng dẫn:

Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4:Trong C , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :

Δ = b2 - 4ac = (3i)2 - 4.1.4 = -25 <0

Phương trình có hai nghiệm phức là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5:Cho z = 1 - i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z2 + i)(z2- 2iz - 1) = 0 có nghiệm là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

Ví dụ 7:Trong C , phương trình Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án có nghiệm là:

(1 ± √3)i        B. (5 ± √2)i        C. (1 ± √2)i        D.(2 ± √(5)i)

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn đáp án A.

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Trong C, phương trình 2x2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có:Δ = b2 - 4ac = 12 - 4.1.1 = -7 = 7i2 <0

nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 2:Trong C , phương trình z2 - z + 1 = 0 có nghiệm là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Δ = b2 - 4ac = -3 < 0

Nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z2 = -5 + 12i là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi là một nghiệm của phương trình.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó phương trình có hai nghiệm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 4: Trong C , phương trình z4-6z2 + 25 = 0 có nghiệm là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 5:Biết z1;z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + √3 z + 3 = 0. Khi đó giá trị của z12 + z22 là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 6: Phương trình z2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:

A. 0        B.        C. 3        D. -1

Đáp án : C

Giải thích :

Vì z = 1 + 2i là một nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên ta có:

(1 + 2)2 + a(1 + 2i) + b = 0

<=> a + b + 2ai = 3 - 4i

<=> a + b = 3

Câu 7:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 - 4z + 5 = 0. Khi đó phần thực của z12 + z22 là:

A. 5        B. 6        C. 4        D. 7

Đáp án : B

Giải thích :

Theo Viet, ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 8:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 4 = 0. Khi đó A = |z1|2 + |z2|2 có giá trị là

A.-7         B. – 8         C.-4        D. 8

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z2 - 6z + 13 = 0. Tính Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A. √17 và 4        B. √17 và 5        C. √17 và 3        D. √17 và 2

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 10: Gọi z1;z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 + (1-3i)z - 2(1+i) = 0. Khi đó w = z12 + z22 - 3 z1z2 là số phức có môđun là:

A.5        B.√13        C. 2√13        D. √20

Đáp án : D

Giải thích :

Theo Viet, ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 11: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z2 + 8|z|2 -3 = 0 là:

A. 3        B. 2        C. 4        D. 1

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi z = a + bi là nghiệm của phương trình.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức

Câu 12: Cho phương trình z2 + mz - 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:

A. 0         B. 1        C. -2        D. -1

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi z1;z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo Viet, ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 13:Gọi z1;z2;z3;z4 là các nghiệm phức của phương trình Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Giá trị của Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Với mọi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án , ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác