Cách viết số phức dưới dạng lượng giác (cực hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Cách viết số phức dưới dạng lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách viết số phức dưới dạng lượng giác.

Cách viết số phức dưới dạng lượng giác (cực hay, chi tiết)

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cần chú ý hai công thức quan trọng sau

Công thức 1:

(cos x + i sin x). (cosy + i sin y) = cos(x + y) + isin(x +y)

Công thức 2 : (cos X + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Số phức z = a + bi ta có:

= |z| (cosφ +i sinφ) = r(cosφ + isinφ)

Với r = |z| và góc φ được gọi là argument của z, ký hiệu là arg(z) . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Viết số phức z = -2 + 2i dưới dạng lượng giác?

Lời giải:

Ta có:

Ví dụ 2:Viết các số phức z = √6 - √2i dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z²⁰¹²

Lời giải:

Ví dụ 3:Viết các số phức dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z²⁰¹²

Lời giải:

Ta có:

Ví dụ 4:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (1-i)ⁿ là số thực?

Lời giải:

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức z + iz

Lời giải:

Ví dụ 6:. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

Lời giải:

Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.

Ví dụ 7:Tính A = (1+i)¹² + (1-i)¹²

Lời giải:

Ta có:

Ví dụ 8:Cho số phức z₁; z₂ thỏa mãn

Lời giải:

Đặt và w = a + bi ; khi đó:

|z₁ - z₂| = |z₁| = |z₂| > 0 tương đương với |w - 1| = |w| = 1 tức (a-1)² + b² = a² + b² = 1 hay

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (√3 + i)ⁿ là số thực ?

Lời giải:

Để số z là số thực khi

Câu 2:Tìm các số nguyên dương n để số phức z=(-1 - √3i)²là số ảo?

Lời giải:

Ta có:

Để z là số ảo thì n phải thỏa mãn:

Do 3 + 6k là số lẻ nên (3 + 6k) không chia hết cho 8.

Vậy không tồn tại n để z là số ảo.

Câu 3:Gọi z₁; z₂ là nghiệm của phương trình: z² - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 . Tính giá trị biểu thức Q = z₁²⁰¹² + z₂²⁰¹²

Lời giải:

Phương trình: z² - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 có biệt số Δ = 2i(4-2√3)

Dễ thấy 4-2√3 = (√ - 1)² . 2i = (i + 1)² . Khi đó Δ = [(√ - 1)(i + 1)]²

Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z₁ = √3 - i , z₂ = 1 - i√3

Mặt khác

Khi đó :

Câu 4: Tìm số phức z sao cho z⁵ và là hai số phức liên hợp.

Lời giải:

Do đó là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi

Hay là:

Vì φ ∈ (0;2r) nên k = {0;1;2}.

Vậy số phức cần tìm là

Câu 5:Giải phương trình

Lời giải:

Đặt z = cosx + i.sinx thế thì

Phương trình cho trở thành:

Hay z⁶ - z⁵ + z⁴ - z³ + z² - z = 0

Vì z = 1 không là nghiệm phương trình, nên ta có:

(*) <=> (z + 1)(z⁶ - z⁵ + z⁴ - z³ + z² - z + 1) = 0 <=> z⁷ + 1 = 0

Vì z ≠ 1 nên không nhận giá trị k = 3

Vậy, phương trình cho có nghiệm:

Câu 6:Giải phương trình : cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x =

Lời giải:

Ta có cosx = ± 1 không là nghiệm của phương trình.

Đặt z = cosx + i.sinx với x ∈ (0;2r)

Ta có z ≠ ±1,z^-1 = cosx - i sinx và:

2cosx = z + z^-1, 2cosnx = zⁿ + ^-n

Vậy phương trình đã cho trở thành:

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là

Suy ra nghiệm cần tìm là

Vậy các nghiệm của phương trình là: và

Câu 7:Viết các số phức sau dưới dạng đại số

Lời giải:

Câu 8: Viết các số phức sau dưới dạng đại số

Lời giải:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức
• Dạng 2: Giải phương trình bậc 2 số phức
• Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

---

---

---