Viết số phức dưới dạng lượng giác - Toán lớp 12



Viết số phức dưới dạng lượng giác

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cần chú ý hai công thức quan trọng sau

Công thức 1:

(cos x + i sin x). (cosy + i sin y) = cos(x + y) + isin(x +y)

Công thức 2 : (cos X + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Số phức z = a + bi ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

= |z| (cosφ +i sinφ) = r(cosφ + isinφ)

Với r = |z| và góc φ được gọi là argument của z, ký hiệu là arg(z) . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Viết số phức z = -2 + 2i dưới dạng lượng giác?

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2:Viết các số phức z = √6 - √2i dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 3:Viết các số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 4:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (1-i)n là số thực?

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án . Tìm môđun của số phức z + iz

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 6:. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.

Ví dụ 7:Tính A = (1+i)12 + (1-i)12

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 8:Cho số phức z1; z2 thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đặt Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và w = a + bi ; khi đó:

|z1 - z2| = |z1| = |z2| > 0 tương đương với |w - 1| = |w| = 1 tức (a-1)2 + b2 = a2 + b2 = 1 hay Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (√3 + i)n là số thực ?

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Để số z là số thực khi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 2:Tìm các số nguyên dương n để số phức z=(-1 - √3i)2là số ảo?

Ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Để z là số ảo thì n phải thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do 3 + 6k là số lẻ nên (3 + 6k) không chia hết cho 8.

Vậy không tồn tại n để z là số ảo.

Câu 3:Gọi z1; z2 là nghiệm của phương trình: z2 - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 . Tính giá trị biểu thức Q = z12012 + z22012

Phương trình: z2 - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 có biệt số Δ = 2i(4-2√3)

Dễ thấy 4-2√3 = (√ - 1)2 . 2i = (i + 1)2 . Khi đó Δ = [(√ - 1)(i + 1)]2

Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z1 = √3 - i , z2 = 1 - i√3

Mặt khác Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó : Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 4: Tìm số phức z sao cho z5Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hai số phức liên hợp.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hay là: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vì φ ∈ (0;2r) nên k = {0;1;2}.

Vậy số phức cần tìm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 5:Giải phương trình Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt z = cosx + i.sinx thế thì Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Phương trình cho trở thành: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hay z6 - z5 + z4 - z3 + z2 - z = 0

Vì z = 1 không là nghiệm phương trình, nên ta có:

(*) <=> (z + 1)(z6 - z5 + z4 - z3 + z2 - z + 1) = 0 <=> z7 + 1 = 0

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vì z ≠ 1 nên không nhận giá trị k = 3

Vậy, phương trình cho có nghiệm:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 6:Giải phương trình : cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có cosx = ± 1 không là nghiệm của phương trình.

Đặt z = cosx + i.sinx với x ∈ (0;2r)

Ta có z ≠ ±1,z-1 = cosx - i sinx và:

2cosx = z + z-1, 2cosnx = zn + -n

Vậy phương trình đã cho trở thành:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra nghiệm cần tìm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy các nghiệm của phương trình là: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 7:Viết các số phức sau dưới dạng đại số Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 8: Viết các số phức sau dưới dạng đại số Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác