Cách viết số phức dưới dạng lượng giác (cực hay, chi tiết)
Bài viết Cách viết số phức dưới dạng lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách viết số phức dưới dạng lượng giác.
Cách viết số phức dưới dạng lượng giác (cực hay, chi tiết)
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Cần chú ý hai công thức quan trọng sau
Công thức 1:
(cos x + i sin x). (cosy + i sin y) = cos(x + y) + isin(x +y)
Công thức 2 : (cos X + i sin x)n = cos nx + i sin nx
Số phức z = a + bi ta có:
= |z| (cosφ +i sinφ) = r(cosφ + isinφ)
Với r = |z| và góc φ được gọi là argument của z, ký hiệu là arg(z) . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Viết số phức z = -2 + 2i dưới dạng lượng giác?
Lời giải:
Ta có:
Ví dụ 2:Viết các số phức z = √6 - √2i dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012
Lời giải:
Ví dụ 3:Viết các số phức dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012
Lời giải:
Ta có:
Ví dụ 4:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (1-i)n là số thực?
Lời giải:
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức z + iz
Lời giải:
Ví dụ 6:. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
Lời giải:
Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.
Ví dụ 7:Tính A = (1+i)12 + (1-i)12
Lời giải:
Ta có:
Ví dụ 8:Cho số phức z1; z2 thỏa mãn
Lời giải:
Đặt và w = a + bi ; khi đó:
|z1 - z2| = |z1| = |z2| > 0 tương đương với |w - 1| = |w| = 1 tức (a-1)2 + b2 = a2 + b2 = 1 hay
B. Bài tập vận dụng
Câu 1:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (√3 + i)n là số thực ?
Lời giải:
Để số z là số thực khi
Câu 2:Tìm các số nguyên dương n để số phức z=(-1 - √3i)2là số ảo?
Lời giải:
Ta có:
Để z là số ảo thì n phải thỏa mãn:
Do 3 + 6k là số lẻ nên (3 + 6k) không chia hết cho 8.
Vậy không tồn tại n để z là số ảo.
Câu 3:Gọi z1; z2 là nghiệm của phương trình: z2 - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 . Tính giá trị biểu thức Q = z12012 + z22012
Lời giải:
Phương trình: z2 - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 có biệt số Δ = 2i(4-2√3)
Dễ thấy 4-2√3 = (√ - 1)2 . 2i = (i + 1)2 . Khi đó Δ = [(√ - 1)(i + 1)]2
Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z1 = √3 - i , z2 = 1 - i√3
Mặt khác
Khi đó :
Câu 4: Tìm số phức z sao cho z5 và là hai số phức liên hợp.
Lời giải:
Do đó là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi
Hay là:
Vì φ ∈ (0;2r) nên k = {0;1;2}.
Vậy số phức cần tìm là
Câu 5:Giải phương trình
Lời giải:
Đặt z = cosx + i.sinx thế thì
Phương trình cho trở thành:
Hay z6 - z5 + z4 - z3 + z2 - z = 0
Vì z = 1 không là nghiệm phương trình, nên ta có:
(*) <=> (z + 1)(z6 - z5 + z4 - z3 + z2 - z + 1) = 0 <=> z7 + 1 = 0
Vì z ≠ 1 nên không nhận giá trị k = 3
Vậy, phương trình cho có nghiệm:
Câu 6:Giải phương trình : cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x =
Lời giải:
Ta có cosx = ± 1 không là nghiệm của phương trình.
Đặt z = cosx + i.sinx với x ∈ (0;2r)
Ta có z ≠ ±1,z-1 = cosx - i sinx và:
2cosx = z + z-1, 2cosnx = zn + -n
Vậy phương trình đã cho trở thành:
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là
Suy ra nghiệm cần tìm là
Vậy các nghiệm của phương trình là: và
Câu 7:Viết các số phức sau dưới dạng đại số
Lời giải:
Câu 8: Viết các số phức sau dưới dạng đại số
Lời giải:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức
- Dạng 2: Giải phương trình bậc 2 số phức
- Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12