Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Viết số phức dưới dạng lượng giác - Toán lớp 12



Viết số phức dưới dạng lượng giác

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cần chú ý hai công thức quan trọng sau

Công thức 1:

(cos x + i sin x). (cosy + i sin y) = cos(x + y) + isin(x +y)

Công thức 2 : (cos X + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Số phức z = a + bi ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

= |z| (cosφ +i sinφ) = r(cosφ + isinφ)

Với r = |z| và góc φ được gọi là argument của z, ký hiệu là arg(z) . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Viết số phức z = -2 + 2i dưới dạng lượng giác?

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 2:Viết các số phức z = √6 - √2i dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 3:Viết các số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 4:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (1-i)n là số thực?

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án . Tìm môđun của số phức z + iz

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 6:. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.

Ví dụ 7:Tính A = (1+i)12 + (1-i)12

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 8:Cho số phức z1; z2 thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đặt Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và w = a + bi ; khi đó:

|z1 - z2| = |z1| = |z2| > 0 tương đương với |w - 1| = |w| = 1 tức (a-1)2 + b2 = a2 + b2 = 1 hay Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (√3 + i)n là số thực ?

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Để số z là số thực khi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 2:Tìm các số nguyên dương n để số phức z=(-1 - √3i)2là số ảo?

Ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Để z là số ảo thì n phải thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do 3 + 6k là số lẻ nên (3 + 6k) không chia hết cho 8.

Vậy không tồn tại n để z là số ảo.

Câu 3:Gọi z1; z2 là nghiệm của phương trình: z2 - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 . Tính giá trị biểu thức Q = z12012 + z22012

Phương trình: z2 - (1 + √3)(1 -i)z - 4i = 0 có biệt số Δ = 2i(4-2√3)

Dễ thấy 4-2√3 = (√ - 1)2 . 2i = (i + 1)2 . Khi đó Δ = [(√ - 1)(i + 1)]2

Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z1 = √3 - i , z2 = 1 - i√3

Mặt khác Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó : Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 4: Tìm số phức z sao cho z5Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hai số phức liên hợp.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hay là: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vì φ ∈ (0;2r) nên k = {0;1;2}.

Vậy số phức cần tìm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 5:Giải phương trình Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt z = cosx + i.sinx thế thì Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Phương trình cho trở thành: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hay z6 - z5 + z4 - z3 + z2 - z = 0

Vì z = 1 không là nghiệm phương trình, nên ta có:

(*) <=> (z + 1)(z6 - z5 + z4 - z3 + z2 - z + 1) = 0 <=> z7 + 1 = 0

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vì z ≠ 1 nên không nhận giá trị k = 3

Vậy, phương trình cho có nghiệm:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 6:Giải phương trình : cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có cosx = ± 1 không là nghiệm của phương trình.

Đặt z = cosx + i.sinx với x ∈ (0;2r)

Ta có z ≠ ±1,z-1 = cosx - i sinx và:

2cosx = z + z-1, 2cosnx = zn + -n

Vậy phương trình đã cho trở thành:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra nghiệm cần tìm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy các nghiệm của phương trình là: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 7:Viết các số phức sau dưới dạng đại số Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 8: Viết các số phức sau dưới dạng đại số Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Quảng cáo

Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác