Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12 (hay, chi tiết)

---

---

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài giảng: Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) .

    - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    - Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K .

    - Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

* Chú ý.

    - Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f'(x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [a; b].

    - Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

    Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.

    Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

    Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

    Bước 1. Tìm tập xác định D.

    Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).

    Bước 3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

    Bước 4. Lập bảng biến thiên.

    Bước 5. Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước.

    Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D:

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Chú ý.

    Riêng hàm số $$y = {{{a_1}x + {b_1}} \over {cx + d}}$$ thì :

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Một số kiến thức liên quan

    Cho tam thức g(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

    $$a)\,\,\,g(x) \ge 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \gt 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$

    $$b)\,\,\,g(x) \gt 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \lt 0 \hfill \cr \Delta \gt 0 \hfill \cr} \right.$$

    $$c)\,\,\,g(x) \le 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \lt 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$

    $$d)\,\,\,g(x) \le 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \le 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$

* Chú ý.

    Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b):

    - Bước 1. Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0), ∀x ∈(a; b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀x ∈ (a; b).

    - Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a; b).

    - Bước 3. Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Lý thuyết Cực trị hàm số
• Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Lý thuyết Đường tiệm cận
• Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

---

---

---