Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế.

Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt tọa độ điểm, tọa độ vectơ vào giải quyết các bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình bên dưới, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, $\widehat{NOB}=32°;\widehat{MOC}=65°$. Tìm tọa độ điểm M.

Hướng dẫn giải:

Tam giác MOC vuông tại C có OC = OM.cos65° = 14.cos65° ≈ 5,9;

CM = OM.sin65° = 14.sin65° ≈ 12,7.

Tam giác OAN vuông tại A có OA = ON.cos58° = 12,7.cos58° ≈ 6,7;

AN = ON.sin58° = 12,7.sin58° ≈ 10,8.

Khi đó $\overrightarrow{OM}=OA.\overrightarrow{i}+OB.\overrightarrow{j}+OC.\overrightarrow{k}=\mathrm{12,7}\overrightarrow{i}+\mathrm{10,8}\overrightarrow{j}+\mathrm{5,9}\overrightarrow{k}$.

Vậy M(12,7; 10,8; 5,9).

Ví dụ 2. Một căn phòng hình hộp chữ nhật đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) AB = 5m; BC = 6m; AA' = 4m. Người ta treo một cái đèn bóng tròn tại vị trí điểm A'; có một giỏ hoa treo tại vị trí M cách trần nhà 2m, cách mặt phẳng (ADD'A') là 2m, cách mặt phẳng (ABB'A') là 1m. Khi bật đèn sáng thì ảnh của giỏ hoa lên mặt đất tại vị trí K. Tìm tọa độ K.

Hướng dẫn giải:

Ta có A'(0; 0; 4), M(2; 1; 2).

Có K(x; y; 0) ∈ (Oxy).

Tia sáng chiếu qua chậu hoa có bóng xuống mặt phẳng (Oxy) nên A'; M; K thẳng hàng

Có $\overrightarrow{A^{\text{'}}M}=\left(2;1;-2\right);\overrightarrow{A^{\text{'}}K}=\left(x;y;-4\right)$.

Do A'; M; K thẳng hàng nên $\overrightarrow{A^{\text{'}}M};\overrightarrow{A^{\text{'}}K}$ cùng phương nên

$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{-4}{-2}=2\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.\Rightarrow K\left(4;2;0\right)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hình bên mô tả một sân cầu lông với kích thước tiêu chuẩn quốc tế. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình bên (đơn vị trên mỗi trục là mét), giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới, hãy xác định tọa độ của B.

A. (6,1; 6,7; 1,55);

B. (6,7; 6,1; 1,55);

C. (6,1; 0; 1,55);

D. (0; 6,7; 1,55).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ điểm B(6,7; 6,1; 1,55).

Bài 2. Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như hình bên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50; $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OH}\right)=64°;\left(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM}\right)=48°$. Tìm tọa độ điểm M.

A. M(37,2; 14,7; 30,1);

B. M(14,7; 37,2; 30,1);

C. M(30,1; 14,7; 37,2);

D. M(14,7; 30,1; 37,2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tam giác OMH vuông tại H, có OH = OM.cos48° ≈ 33,5; OC = MH = OM.sin48° ≈ 37,2.

Tam giác OAH vuông tại A, có OA = OH.cos64° ≈ 14,7; OB = AH = OH.sin64° ≈ 30,1.

Suy ra $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\mathrm{14,7}\overrightarrow{i}+\mathrm{30,1}\overrightarrow{j}+\mathrm{37,2}\overrightarrow{k}$.

Vậy M(14,7; 30,1; 37,2).

Dùng dữ liệu sau để trả lời các câu hỏi ở bài 3, bài 4, bài 5

Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp dỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa). Ta chọn hệ trục Oxyz thỏa mãn trục Ox trùng với trục chân đế, trục Oy vuông góc với trục Ox và trục Oz trùng với trục cần cẩu (theo đơn vị mét, như hình vẽ). Gọi M là vị trí tại đỉnh cần cẩu, H là hình chiếu của M lên (Oxy). Biết tay cần KM của cần trục dài 50m, trục cần OK dài 50m, $\left(\overrightarrow{k},\overrightarrow{KM}\right)=60°;\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OH}\right)=45°$.

Bài 3. Điểm M có cao độ z_M là bao nhiêu?

A. $\frac{100\sqrt{3}}{2}$;

B. 93,3;

C. 75;

D. 60.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.

Ta có EK = MK.cos60° = 50.cos60° = 25 m Þ z_M = OE = OK + KE = 50 + 25 = 75 m.

Bài 4. Tọa độ điểm H là

A. $\left(25\sqrt{2};25\sqrt{2};0\right)$;

B. (25; 25; 0);

C. $\left(\frac{25\sqrt{6}}{2};\frac{25\sqrt{6}}{2};0\right)$;

D. $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{5\sqrt{2}}{2};0\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.

Ta có ME = MK.sin60° = $50.\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$. Suy ra OH = ME = $25\sqrt{3}$ m.

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy.

Vì $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OH}\right)=45°$ => OP = OQ = $OH.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{25\sqrt{6}}{2}$.

Vậy điểm $H\left(\frac{25\sqrt{6}}{2};\frac{25\sqrt{6}}{2};0\right)$.

Bài 5. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{KM}$ là

A. $\left(25\sqrt{2};25\sqrt{2};25\right)$;

B. (25; 25; 25);

C. $\left(\frac{25\sqrt{6}}{2};\frac{25\sqrt{6}}{2};25\right)$;

D. $\left(\frac{25\sqrt{2}}{2};\frac{25\sqrt{2}}{2};25\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $H\left(\frac{25\sqrt{6}}{2};\frac{25\sqrt{6}}{2};0\right)$ và OE = 75 nên $M\left(\frac{25\sqrt{6}}{2};\frac{25\sqrt{6}}{2};75\right)$.

Mà K ∈ Oz nên K(0; 0; 50).

Vậy $\overrightarrow{KM}=\left(\frac{25\sqrt{6}}{2};\frac{25\sqrt{6}}{2};25\right)$.

Bài 6. Theo quy định của liên đoàn bóng chuyền quốc tế (FIVB), sân bóng chuyền có hình dạng chữ nhật. Kích thước tiêu chuẩn của sân bóng chuyền là 9m × 18 m. Chiều cao của lưới bóng chuyền là 2,24 m đối với nữ. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình vẽ thứ hai (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ để căng lưới bóng chuyền. Hãy xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

A. (9; 9; 0);

B. (9; 9; 2,24);

C. (0; 0; 2,24);

D. (0; 0; −2,24).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ điểm A(x_A; y_A; z_A).

Vì một nửa chiều dài của sân là 9 m nên x_A = 9.

Do chiều rộng của sân là 9 m nên y_A = 9.

Điểm A ∈ (Oxy) nên z_A = 0.

Do đó tọa độ điểm A(9; 9; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB = 2,24 m nên B(9; 9; 2,24).

Vậy ta có $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;\mathrm{2,24}\right)$.

Bài 7. Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

Máy bay đang ở độ cao là

A. 9 m;

B. 9 km;

C. 300 km;

D. 150 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Máy bay đang ở độ cao là 9 km.

Bài 8. Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

Tọa độ của máy bay là

A. (300; 150; 9);

B. (150; 300; 9);

C. (0; 0; 9);

D. (300; 150; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ của máy bay là (150; 300; 9).

Bài 9. Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với chiều rộng AB = 4, chiều dài AD = 8, chiều cao AA' = 10 được gắn vào hệ trục Oxyz như hình vẽ. Người ta muốn gắn bức tranh ở vị trí điểm C'. Tìm tọa độ điểm C'.

A. (4; 8; 10);

B. (8; 4; 10);

C. (2; 4; 5);

D. (4; 8; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{i};\overrightarrow{AD}=8\overrightarrow{j};\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=10\overrightarrow{k}$.

Mà $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=4\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}+10\overrightarrow{k}$.

Do đó C'(4;8;10).

Bài 10. Hình sau minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AH}$ là

A. (4; 8; 10);

B. (4; 0; 3);

C. (4; 5; 3);

D. (−4; 5; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên OABC là hình chữ nhật, suy ra x_A = x_B = 4; y_C = y_B = 5.

Do điểm A nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm A(4; 0; 0); điểm C nằm trên trục Oy nên tọa độ điểm C(0; 5; 0).

Tường nhà là hình chữ nhật nên OCHE là hình chữ nhật, suy ra y_H = y_C = 5; z_H = z_E = 3.

Do H nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên tọa độ điểm H(0; 5; 3).

Vậy $\overrightarrow{AH}=\left(-4;5;3\right)$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng
• Tích vô hướng và ứng dụng
• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế
• Xác định khoảng biến thiên và ý nghĩa của khoảng biến thiên trong việc đo mức độ phân tán
• Xác định khoảng tứ phân vị và ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán

---